CHAPITRE PREMIER
monôme». En outre, le ilegn- itu pemluit tle i'hn€jiie terme doit être égal à la somme des ilegrrs de deux termes i/iiclrom/ues du multiplirande et du mulli/ilirnteur. Ainsi, dans le premifT des deux exemples précôilenls, tous les termes du multiplicande ('■tant du deuxième de"rô, ainsi ipie ceux du multiplicateur, tous les termes du produit sont du quatrième deprè. Dans le second, le multiplicande étant du cinquième degn^, et le multiplicateur du troisième depré, le produit e.st du huitième degré. Cette remar(|ue sert, dans la pratique, à reconnaître des erreurs do calcul [«r rapjiort aux ex|iosanls. l’an exemple, si l’on trouve que, dans l’un des termes d’un produit qui doit être liomopène. la somme des exposants est égale à 6, tandis qu'elle est égale à 7 dans tous les autres termes, il y a erreur manifeste dans l'addition des exposants; et alors on reprend la multiplication des deux termes qui ont formé co produit partiel.
Secondement. — I,ors(pie, dans la multiplication des deux |x)lynômes, le produit n’oiïre aucune réduction de termes semblables, le nombre total des termes du proiluit est égal au produit ilu nombre des termes du multiplicande, multiplié par le nondtre des termes du multiplicateur; c’est uno conséquence de la règle (17). Ainsi, que l’on ait 5 termes dans le multiplicande, et 4 dans le multiplicateur, il y en a 5x4, "" 20, dans le produit. En général, si le multiplicande se compose de m termes et le multiplicateur de « termes, le produit en renferme m x n.
Troisièmement. — Lors<iu’il y a dos termes semblables, le nombre total des termes du produit simplifié peut être beaucoup moins grand. Mais on remarquera que, [larmi les différents termes du produit, il en est qui ne peuvent se réduire avec aucun autre : ce sont, 1" le terme prneenant de la multiplication du terme du multiplicande affecté du plus haut cximsnnt d'une iptelcomptc tics lettres, par le terme du multiplirateur affecté du plus haut cxjmsant de la même lettre ; 2" le terme provenant de la niultipliration des deux termes affectés du plus faible exposant de la même lettre. En effet, ces deux produits partiels doivent renfermer cette lettre avec un plus haut ou plus faible cxixi.sant que chacun des autres produits {lartiels; jiar conséquent, ils no ixnivent être semblables aux autres produits. Ccdle remarque, dont la vérité se déduit de la règle des c.x]>osants, sera d’une très-grande utilité dans la division.
19. Pour terminer co qui a rapport à la multiplication algébrique, nous ferons connaître différents résultats de multiplication, d’un usage fréquent en Algèbre.
1” Soit proposé de former le carré ou la seconde puissance d’un binôme a-\-h. On a, d’après les principes connus,
(a -4- ô)’= (o-f-i) (a -t- b) ■= d‘ Oiab -f- ô’;
BESASQUBS SD» LA HULTIPLICATIOH. I9
c’est-à-dire que fe carré de la somme de deux quantités se compose du carré de la première quantité, plus le carré de la seconde, plus le double produit de la première par la seconde.
Ainsi, soit à former le carré do 5a’ -t- 8a’é ; on a, d’après ce qui vient d’être dit,
(So’-e 8a’é)’= iSif ■+■ 8oa’i -h 64a‘i’.
1° Soit à former le carré d’une différence a — é. On a
(a — i)’ = (a — é) (a — é) = a’ — aai -t- i’;
c’est-à-dire que le carré de la différence de deux quantités se compose du carré de la première, plus le carré de la seconde, moins le double produit de la première par la seconde.
Ainsi
(qa'b* — iaa6’)’= 49a* i‘— i68a’é‘-t- i44<*’4*-
3° Soit proposé de multiplier a -t-b par a — é. On a {a -h b) (a — b] = a'— b‘.
Donc, la somme de deux quantités, midtipliée par leur différence, donne pour produit la différence de leurs carrés. (C’est le théorème démontré, 8. )
Ainsi
(8a* -H 7oè’);(8o’ — 706’) = 64 a' — 49'*’ é*-
On peut, en combinant ces différents résultats, trouver les produits de certains polynômes plus promptement que par le procédé ordinaire. Soit, par exemple, à multiplier 5a’ — 4aé -4- 35’ par 5a’ — ^ab — 36’; si l’on remarque que la première do ces deux expressions est la somme de deux quantités 5a’ — ^ab et 36’, que la seconde est la différence de ces doux mêmes quantités, on trouve de suite, pour le produit,
(5a’— 4a6)’— (36’)’= a5a* — Soo’6 -4- i6n’6’ — 96*.
30. En réQéchissant sur les résultats do la multiplication que l’on vient d’obtenir, on voit que leur composition, ou la manière dont ils se forment à l’aide du multiplicande et du multiplicateur, est tout à fait indépendante des valeurs particulières qu’on peut attribuer aux lettres a et 6 qui entrent dans les deux facteurs.
En principe, la manière dont un proiluit algébrique se forme à l'aide de ses deux facteurs, s'appelle la loi de ce produit; et cette loi reste toujours la même, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui entrent dans les deux facteurs.
ao
CHAPITKB PRnitBR.
. Enfin, un polynômo tâtant donnt', on peut quelquefois, d'après son inspection, le décomposer en facteurs, ce qui est souvent utile.
Soit le polynômo aSn* — 3oo^b ■+■ i5n‘//’ ; il est évident que les facteurs 5 et rt’ entrent dans chacun de scs termes. Ainsi, on peut mettre le polynôme sous la forme 5a’(5n’ — 6nô-i- 3ô’). De même, 64«*A‘ — aSa'é* SC transforme en
En effet, 64 a* ô' et aSa’i' étant les entrés de 8a’6* et 5a6‘, il s'ensuit que l’expression proposée est la différence de deux carrés, et qu'elle est (19) décomposable dans la somme des racines de ces carrés, multipliée par la différence des mêmes racines.
DE LA DIVISION ALCéBRiqi'E.
22. La division algébrique, comme la division arithmétique, a pour but, étnnt donnés un produit de deux facteurs et l'un de ces fai trurs, de trouver le second facteur.
Dù'ision de deux monômes.
Considérons d’abord le cas de deux monômes.
Soit à diviser 7aa* par 8a’, ce que l’on indique ainsi ; On de-
mande une troisième quantité monôme qui, multipliée par la seconde, repro<luise la première. Or, d'après les règles établies |)our la multiplication des monômes, la quantité cherchée doit être telle, que son coefficient, multiplié par 8, donne pour produit ji, et que l’exposant de la lettre a dans cette quantité, ajouté à 3, exposant de la lettre a dans le diviseur, donne pour somme 5, exposant du dividende. Ainsi, l'on obtiendra cette <|uantité en divisant 7a par 8, cl retranchant l’exposant de 5 l'exposant 3, ce. qui donne
et, en effet, on a 8a’ x ga’ = 71a’.
On a, d'après les mêmes remarques,
35a’ A’c 7aô
Sa’ôc; et, on effet, yai x Sa’ic = 35a’i’c;
d’où l'on voit que, pour diviser deux monômes l’un par l’autre, il faut, 1° diciser les deux coefficients l’un par l’autre; 7.° pour les lettres communes au dividende et au diviseur, écrire chacune d’elles a la suite du coefficient, en l’affectant d'un exposant égal à l'excès île l’exposant du
^jg|lized^^Go(’ le
DIVISION DES MONÔMES. 31
dividende sur celui tlu diviseur; 3' écrire à la suite, et avec leurs exposants res/>eclifs, les lettres qui entrent dans le dividende sans entrer dans le diviseur.
On trouvera, d'après celle règle,
itab‘c
^a'bcd.
l5oo‘è‘rf/’
■ioiéb'd'
= Sn'Pcd.
{f'orez le n° 24, pour le cas où les exposants d’une même lettre sont égaux dans le dividende et le diviseur.)
2.3. Il résulte de la règle précédente que la division des monômes est impossible, premièrement, si les coefficients no sont pas divisibles l'un par l’autre; en second lieu, si certains exposants sont plus forts au diviseur qu’au dividende ; en troisième lieu, si le diviseur renferme une ou plusieurs lettres qui ne se trouvent pas dans le dividende. Dès qu’une ou plusieurs de ces trois circonstances se rencontrent, le quotient reste sous la forme d'un monôme fractionnaire, c’est-à-dire d’une expression dans laquelle entre nécessairement le signe algébrique de la division, mais qu’on peut souvent simpliBor.
Soit, par exemple, ina'b’cil à diviser par Sa’éc’.
On ne peut trouver ici pour quotient un monôme entier, c’est-à-dire un monôme débarrassé du signe de la division, parce que la n’est pas divisible exactement par 8, et qu'en outre l’exposant de c est moins grand au dividende qu’au diviseur. Ainsi, on présentera le quotient demandé
sous la forme * simplifier cotte expression, en
remarquant que les facteurs 4, ô et c étant communs aux doux termes de celte fraction, rien n’empêche de les supprimer; et l’on a pour résul- “ia'bd
En général, pour simplifier un monôme fractionnaire, il faut, i° ru/>primer le plus grand facteur commun aux deux coefficients ; a" retrancher le plus petit des deux exposants d'une même lettre, du plus grand, et écrire la lettre affectée de cette différence d’exposants dans celui des deux termes de la fraction où l’exposant était le plus grand; 3“ écrire les lettres non communes, avec leurs exposants respectifs, dans celui des deux termes de la fraction où ces lettres entraient.
On trouvera, d’après cette règle.
hitéb'c^d' htttP "i-^alê&d 37Ô’c 'i6a'tèc'de~ Zbee' ^cébc’d‘~ cl'
•ja'b i
ihiéb' ~ •xab
CHA.PHHB PREMIER.
Dans le dernier exemple, comme tous les facteurs du dividende se trouvent au diviseur, le numérateur se réduit à ïunité, parce que cela revient à diviser les deux termes de la fraction par le numérateur.
24. Il arrive souvent que les exposants de certaines lettres sont les mômes au dividende qu’au diviseur.
. Soit, par exemple, à diviser 7.^0^ |)ar comme la lettre b est
affectée du môme exposant, le quotient ne doit pas la renfermer, et l’on a
= 3«. Mais on remarque que ce résultat Za peut ôtre mis sous
une forme propre à conserver la trace de la lettre b qui a disparu par l'effet de la réduction.
En effet, si l’on applique, par convention, à l’expression ^ la règle des
exposants (22), il vient ^ = è®. Ce nouveau symbole b* indique (2) que
la lettre entre o fois comme facteur dans le quotient, ou, ce qui revient w môme, qu’elle no doit pas y entrer; mais il indique en môme temps qu’elle entrait dans le dividende et le diviseur, et qu’elle a dis|)aru par l’effet de l’opération. Ce symbole a l’avantage de conserver la trace d’un nombre qui faisait partie de la question que l’on avait en vue de résoudre, sans pour cela changer en rien le résultat ; car, puisque fc® provient de b*
qui d’ailleurs est égal à 1, il s’ensuit que 3aZ>® équivaut à 3a x i ou 3 a. De môme
iSa^b^c' ^ Zà^bc^ ~~
5 a® AV =56».
Comme il importe d’avoir des notions exactes sur l’origine et la signification des symboles employés en Algèbre, nous nous proposons de faire voir qu’ea générai, toute quantité a, affectée de l'exposant o, équivaut à c'est-à-dire que l'on an* — 1 .
En effet, cette expression provient, comme nous venons de le dire, de GO que a est affecté du môme exposant au dividende et au diviseur d’une
division indiquée. Ainsi l’on a a®= — (m désignant pour plus de généralité le nombre entier qui sert d’exposant à a). Mais le quotient de toute
quantité divisée par ellc-môme est i; donc~= i ; donc aussi l’on a
Le symbole a® n’est, nous le répétons, employé, par convention, que pour conserver dans le calcul la trace d’une lettre qui entrait dans l’énoncé
DIVISION DKS eOLÏNÔBBS. î3
d’une (|ut>stion, mais qui doit dispuraitre [lar l’cITct d une division; ut il est souvent nécessaire do conserver cette trace.
Dii’i.fio/i fie iteiix piitjnônics.
Premier exempte. — Soit à diviser 5i o-t’-i- ion' — 480’A — i54‘-i- par 4"^ — 5«’-+-3/^'.
Pour suivre plus facilement les calculs, on peut les disposi'r ainsi :
•5i fPh'-h ion* — 48«’i — i5è' + ^at>^ I !\ob — 5n'-t- '^b‘
-H 8rt’/( — ion' -t- 6«’/y’ i — ïn’ -t- 8nA — 5A*
tfjfi'lP — 4on^é — i5b‘-t- ^ah'
—iitPb’-f- ^of^b — ■xirib‘
xbipli' — i5i' — 2oné*
-t-ïonA* — aSn’A’-H- \bb'
Ix> but de wHIo opération est, comme nous l'avons déjà dit ['ü), rte troueer un tmisième ixtlynôme r/iii, multiplié /mr le .ferrmil, repnvtuisc le premier,
11 résulte de cette délinition et de la règle établie (17) pour la multiplication des polynômes, (jue le dividende est l’assi'mblage, par mhlilion et après réduction, des produits [Mirtiels de chacun des termes du diviseur , multipliés par chacun des termes du quotient cherché. Cela posé, si l’on pouvait découvrir dans le dividende un terme qui provint, sans réduction, de la multiplication do l’un des termes du diviseur par l’un des termes du quotient, alors, en divisant l’un par l’autre ces deux termes du dividende et du diviseur, on serait sûr d'obtenir un terme du quotient cherché.
Or, d’après la troisième remarque du n" 18, le terme 100*, affecté du plus haut exposant do la lettre a, provient, sans niduclion, de la multiplication des deux termes du diviseur et du quotient, affectés resiiectivoinenl du plus haut, exposant de la môme lettre. Donc, en divisant le terme io«‘ par le terme — 5o’ du diviseur, on sera certain d’avoir un terme du (|uotient cherché. .Mais il su présente ici une difficulté, c'est de déterminer le signe dont le terme du quotient doit être affiHîté. Pour ne pas être arrêté dorénavant à ce sujet, nous allons établir une règle qui sera la rè^le des signes fie ta division.
Comme, dans la niniliplication, le produit des deux U>rmos do mémo signe est affeclé du signe -i-, cl que le produit de deux termes de signes
