DES FONCTIONS DÉRIVÉES

2® Soit r = f/" une puissance fractionnaire et positive d’une fonction u, on aura

et prenant, d’après la règle précédente, la dérivée des deux membres qui sont des puissances entières, on aura

d’où

ou

et enfin

nx ' = wiw'" '

^ fl m ’ fl m

it

formule qui est comprise dans la formule^' = u', en changeant /w en —

> fi

30 Soit

on tire de cette équation, en multipliant les deux membres par

Prenant la dérivée do chaque membre, on obtient

X'n"‘ -+~ niy O,

d’où

et, après réduction,

résultat qui rentre dans la formule donnée pour le cas d’un exposant entier et positif.

Ainsi, dans tous les cas, on aura

du"> = u'.

Remarque. — Si m = - j on aura *

JL I

du* u * u\

ou, revenant aux notations ordinaires,

Ainsi la dérivée de lu racine carrée d'une fonction est égale à la dérivée de cette fonction divisée par le double du radical.

2t. Dérivée d'un quotient. — Soit

on peut écrire

jr = MK-'.

En appliquent les règles relatives aux produits et aux puissances, on .sura

et enfin

22. Les règles que nous avons données dans ce paragraphe cl dans le précédent ramènent la recherche des dérivées des fonctions à celles des dérivées des fonctions simples ou élémentaires. Si donc ou remarque que la fonction algébrique élémenuiro est x”, et que sa dérivée est mx’""', on voit que nous savons déjà prendre la dérivée de toutes les fonctions algébriques.

Nous croyons utile do récapituler ici les formules trouvées jusqu’à présent. Ce sont les suivantes :

jr UV Z., . Ut

y = aUt y = M-,

y' = au\ y' ■=.

Nous engageons le lecteur à en faire l'application aux exemples suivants :

a^Xf a — Xf

ax**t

{ax’^-h bx*)Ft

(a jr» -f- ^»4'"y»(c.rt-4- dx*‘Yt

(tff .r» -t- bx" {cxi~hdx'Y *

y'jr'-h a*,

aji'"~i^bx* I

ca-f-t- dx-f" * (x —

Dérivées des fonctions circulaires directes et inverses (*).

23. On nomme fonctions circulaires directes les fonctions suivantes : sinx» cosx, tangXf cotx, seex, cosécx,

(*) Ce paragraphe exige des notions de Trigonométrie. Voir le Traité élémentaire de Trigonométrie rectiligne et sphérique, etc., de M. Bourdon.

Dm ' ^b> r'oo^Ie

DES FONGTI05S DfiilVÉES.

et fonctions inverses

arcsinx, arccosx, arcUngjr,....

On convient de désigner l'are dont le sinus est x par la notation arcsinx.

Comme toutes les lignes ti-igonomélriques d’un arc peuvent s’exprimer par une fonction algébrique de ruiic d’entre elles, on voit que les fonctions directes peuvent SC ramener à une seule, à sinx par exemple, et les fonctions inverses àarcsinx. •