OTE V

3® Soit on a identiquement

= et par suite

Donc, d*après la règle des fonctions de fonction, r ' = =: a* l.€»,

30. Dérivée de îogx. — Soient^ s= logx, et a 1a base du système; on aura

et par conséquent, d'après le principe des fonctions inverses,

Oo aura donc

ail. a xi, a

xl.a*

ou bien encore, si l'on remarque que

log^

rflOBJT=

loge dési{;nant lo logarithme de la base népérienne dans le système considéré. On peut aussi obtenir directement la dérivée do Iogx. On a, en effet,

Ar — log(x-t- Ax)— logx = log^in-^^,

, / Axy-^

Ax X X

Or, à la limite (Note IV), le numérateur de cette expression tend vers loge. Donc, etc.

Théorèmes généraux sur les dérivées.

31. ToivOR(:iie I. — Une fonction est croissante ou décroissante suivant que sa dérivée est positive ou négative.

Soit^’ la fonction considérée : puisqu'on a

lim^=.r'.

Gooali

on peut écrire

DES FOXCTIO'S DÉBITÉES.

( étant une quantité qui devient nulle en mérae temps que Ax, et qui, par conséquent, sera très-petite lorsque raccroissement Ax sera lui-même lrès>pclit.

II résulte do là que, ai la dérivée de X* est difTért*ntc|de zéro, on pourra supposer Ax assez petit pour que c soit, en valeur absolue, moindre que r', et, par

conséquent, finira par être de même signe que Par suite, si la dérivé©

est positive et que Ax soit positif, il en sera do même de A^; et si la dérivée négative, au contraire, A^‘ sera négatif lorsque Ax sera positif.

Or supposer que A.r soit positif, c*est admettre que la variable croisse. Donc la fonction croîtra ou décroîtra, lorsque la variable sera croissante, selon que la dérive^ sera positive ou négative; ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire. — 11 résulte de là que, si la dérivée d’une fonction /(x) est nulle pour une valeur a de x, et présente des signes contraires pour des valeurs de x un peu supérieures et un jh^u inférieures à a, la fonclion aura un maximum ou un minimum correspondant à la valeur x •= a.

En cfTet, si /' (x) est positive pour les valeurs de x comprises entre a-^h et «, et négative pour les valeurs de x comprises entre a ci a-i-h, h désignant une quantiU* positive très-petite, on voit que, si l'on fait varier x d’une manière continue depuis â — h jusqu’à a -4- A, la fonction /*(x), d’abord croissante depuis X =s a — h jusqu’à x = a, deviendra ensuite décroissante dcx = n à x a -h h. Donc /*(rt) sera sa plus grande valeur.

On verrait de même que /{a) serait un minimum si la dérivée, en s’annulant, passait du négatif au positif.

Exemple. — i®

^=sinx, /'=cosx;

cosx est positif quand x varie de zéro à — ; donc sinx croît dans cet intervalle.

Cette dérivée est, nulle pour x = — « et change do signe quand x passe de » — h

à A; donc sin~ est un maximum : ce qui s’accorde avec ce que nous sa- 3 a T

vons de cette fonction.

la dérivée y* est positive de x = 0 à x =1 c, nulle pour x =s e, négative do x = aàx=.3a.

Par conséquent, le produit x(sn — x) croit dans le premier intervalle et décroît dans le second. 11 est donc maximum pour xrsn, ce qui s’accorde avec le théorème démontré (n® 107).

32. Tukoiléiie II. — l.a dérivée d*une fonction ne peut pas être constamment nulle.

Supposons que^ soit une fonction de x dont la dérivée^' soit constamment nulle. Soient

63o BOTE T,

n valeurs croissantes de la variable, et

les valeurs correspondantes de la fonction. Puisque la dérivée de y est nulle, les rapports

— r, .Yn—Xn-X

JT, — J, J:,— JT, -r,. — X,-,

doivent être très-petits, si les valeurs successives do x sont asses rapprochées. Nommant t le plus (jrand do ces rapports, on aura en valeur absolue

JTx — *.).

rx — y X < — -T,),

3\—y,x-x <«(•«■■— d'où, en ajoutant membre h membre,

y,—yx —

Mais si, laissant constantes les valeurs extrêmes x^ et j*,,, on rond de plus en plus nombreuses les valeurs intermédiaires, t, et par suite <(x, — x„), pourront devenir plus petits que toute quantité donnée. Donc^’„ — est moindre que toute quantité donnée, c’est-à-dire nulle. Donc

Ainsi deux valeurs quelconques dc^ sont é{;ales. Donc y no dépend pas de a et no peut être qu'iino constante; ce qu'il fallait démontrer.

Il résulte encore do là que, si la dérivée d'une fonction est toujours très-petite entre deux limites données, la fonction doit différer très-peu d'une constante entre ces limites.

Extmple.

La dérivée est très-petite quand x est Irès-crand. Donc alors^ diffère tK*s-peu d’une constante : ce que montre d’ailleurs la simple inspection de la fonction.

33. TuKonÊar. III. — Deux fonctions qui ont la même dérivée ne peuvent différer que par une constante.

Il est d’abord évident que deux fonctions égales doivent avoir la même dérivée. Deux fonctions qui ne dillcrent que par une constante, ayant des accroissements égaux, ont aussi des dérivées égales.

Je dis que réciproquement si deux fonctions u et v ont des dérivées égales, elles ne peuvent différer que par une constante.

Soit donc

et posons

« — V sxjr.

DES FONCTIONS DifilTÊES.

En prenant la dérÎTée des deux membres do cette é^ité, on aura u' —

ou, à cause de Thypothèse,

Ainsi la dificrcnco des deux fonctions a une dérivée nulle; donc cette diOërcnce est une constante.

34. Problèmi. — Revenir de la dérivée à la fonction primitivCy dans U cas où cette opération peut se faire immédiatement.

Le problème qui a pour but de trouver une fonction dont on connaît la dë> rivée offre, en (;énéral, d’assez grandes difficultés; mais il sera facile à résoudre si Ton se donne quelques-unes des fonctions que nous avons obtenues par l’application des règles établies dans les paragraphes précédents.

Ainsi nous avons trouvé

d’où d sszjc^;

donc la fonction primitive de jt* est hc.

c désigne ici une constante arbitraire, que nous devons ajouter, d’après le théo-

rérae III, à la fonction — ^ 1 si nous voulons obtenir la fonction la plus gt'-

m -f“ 1 ru

nérale qui ait pour dérivée x*.

De même, de ce que les dérivées des fonctions

c', Ix, sinx, cosx, tangx

sont

e*, x“*, cosx, — sinx, séc*x,

nous en concluons que les fonctions primitives de

e*, x~*, cosx, sinx, séc‘x

sont respectivement

e'-f-c, Ix-hc, sinx>4<c, — cosx-+-r, tangx-i-c.

On trouverait avec la même facilité les fonctions primitives d’expressions dans lesquelles les fonctions simples, dont nous venons de parler, entreraient par voie d’addition ou de soustraction, avec des coefficients constants.

35. raOBi.ÈUE. — Connaissant les dérivées de plusieurs fonctions, trouver la dérivée d*une fonction comfwsée de ces fonctions.

Soit 7* = /(«, e) une fonction composée de deux fonctions de x, u et v. Appelons U et V les dérivées partielles de^ par rapport à n et à v; on aura

(0 /(«-*- Au, *') — /( w, i-)= UAu-4-« Au,

(a) /(u, -h At*) — y(u, v)= V Ae A»»,

a et désignant des fonctions de u et do »» qui s’évanouissent en même temps que Au et Iv.