CHAPITRE PREMIER

contraires est affecté du signe —, on peut conclure : 1° que, si le terme du dividende a le signe -h et celui du diviseur le signe +, le terme du quotient doit avoir le signe -+ ; 2® que si le terme du dividende a le signe H- et le terme du diviseur le signe — , le terme du .quotient doit avoir le signe — , parce qu’il n’y a que le signe — qui, combiné par multiplication avec le signe — du diviseur, puisse reproduire le signe h- du dividende; 3® que si le terme du dividende, a le signe — et le terme du diviseur lo signe le quotient doit avoir le signe — ; 4" enfin, si le dividende a le signe — et le diviseur le signe — , le quotient doit avoir le signe

En résumant, on voit que cela revient à dire : •

Si les deux termes du dividende et du diviseur sont de même signe, le quotient doit être affecté du signe -h ; et s*ils sont affectés de signes contraires, le quotient doit être affecté du signe — . On dit encore, par abréviation,

divisé par -4- , et — divisé par — , donnent ■+■ ;

— divisé par et -4- divisé par —, donnent — .

Revenons à notre objet.

Dans l’exemple proposé, loa* et — 5a^ étant affectés de signes contraires, leur quotient doit avoir le signe — ; d’ailleurs loa* divisé par donne (22) ; donc — 20’ est un terme du quotient cherché. Après l’avoir écrit au-dessdus du diviseur, on multiplie chacun des termes du diviseur par ce terme, puis on soustrait le produit

— Sa^b -f- 10a* —

du dividende, ce qui se fait en écrivant ce produit, avec des signes contraires, au-dessous du dividende, et en opérant la réduction. 11 vient ainsi |M)ur résultat de la première opération partielle,

Sya^b^ — ^on^b — \5b* -h ^ab^ .

Ce résultat se compose des produits partiels de chacun des termes du diviseur par chacun des termes qui restent à déterminer au quotient. On peut donc le regarder comme un nouveau dividende, et raisonner sur lui comme sur le dividende proposé. On est alors conduit à prendre, dans co résultat, le terme — 4o<r*^, affecté du plus haut exposant de //, et à le diviser par le même terme —-Sa* du diviseur. Or, d’après les principes précédents, — ^oeêb divisé par — donne pour quotient, Sab, nouveau terme qu’on éxîrit à la droite du premier. Multipliant chacun des termes du diviseur par ce terme, et écrivant les produits avec des signes contraires, au-dessous du second dividende, puis faisant la réduction, on

DIVISION DES POLTNÔIES. >5

trouve pour résultat de la seconde opération,

aSa’i’ — i5i* — soaé*;

divisant encore aSa’è’ par — 5 a’, on a pour quotient, — 5i’, qui forme le troisième terme du quotient. Multipliant le diviseur par ce terme, et écrivant les termes du produit, avec des signes contraires, au-dessous du troisième dividende, puis faisant la réduction, on obtient pour résultat, o. Donc — 2rt’4- 8oé — 56’, ou 8a6 — an’ — 56’, est le quotient demandé; ce qu’on peut d’ailleurs vérifier en multipliant le diviseur par ce polynôme : le produit effectué doit être égal au dividende.

En réfléchissant sur les raisonnements précédents, on voit que, comme dans chaque opération partielle on est obligé de rechercher le terme du dividende affecté du plus haut exposant de l'une des lettres, et de le diviser par le terme du diviseur affecté du plus haut exposant de la même lettre, on éviterait cette recherche si l'on avait le soin A'écrire à priori les termes du dividende et du diviseur, de manière que les exposants d’une mime lettre allassent en décroissant de gauche à droite. C'est ce qu’on appelle ordonner le dividende et le diviseur par rapport à ime même lettre. Au moyen de cette préparation, le premier terme à gauche du dividende, et le premier terme à gauche du diviseur, sont toujours les deux termes qu’il faut diviser l’un par l’autre pour avoir un des termes du quotient ; et il en est de même dans toutes les opérations suivantes, parce que les quotients partiels et les produits du diviseur par ces quetients sont continuellement ordonnés.

Voici le tableau des calculs do l’exemple précédent, après que l’on a ordonné les deux polynômes :

loa* — 48n’6 H- 5i a’6’-i- 4o6’ — i56' j — 5n’-i- 4«6 + 36’

— ioa*-i- 8o’6-i- 6a’6’

-I- 4ofl*6 — ‘ina'b' — a4o6’

\ — ao’-f- 806 — 56’

s-iha^b^ — 2006’— i56* — 25o’6’-i- 2oo6’-i- i56‘

36. De là on peut conclure la règle suivante pour diviser deux polynômes l'un par l’autre : Après avoir ordonné le dividende et le diviseur par rapport à une mime lettre, divisez le premier terme à gauche du dividende par le premier terme à gauche du diviseur, vous obtenez ainsi le premier terme du qivotient; multipliez le diviseur parce terme, et retranchez le produit du dividende proposé. Divisez ensuite le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, vous obtenez ainsi le second terme

GHAPITBB PRSalBR.

du <iuotient ; multipUei le diviseur par ce second terme, et retranches le produit du résultat dr la première opération. Continuez ainsi les opérations jusqu’à ce qu en/in xmis obteniez /mur résultat, o ; auquel cas, ta division est dite exacte.

Lorsque le premier terme du dividende ordonné n’est pas exactement divisible (23) par le premier terme du diviseur au.ssi ordonné, c’est un signe que la division totale est impossible, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de polynéme entier qui, multiplié par le diviseur, puisse reproduire le dividende. Et, en général, on reconnaît qu’/wc division est im/mssihle, lorsque le premier terme île l'un des dividendes partiels n’est /sas divisible par le premier terme du diviseur.

27. Nous remar(|uerons en passant que, s’il y a quelque analogie entre la division arithmétique et la division algébrique, par rapport à la manière dont les calculs sont disposés et ell'ectués, elles ont entre elles celte différence essentielle que, dans la division arithmétique, les chiffres du quotient s’obtiennent par tâtonnement, tandis que, dans la division algébrique, le quotient que l’on obtient en divisant le premier terme d’un dividende |>artiel par le premier terme du diviseur, est toujours uti des termes du (piotient cherché. Si cette division partielle ne peut s’effectuer, on doit conclure tout de suite que la division totale est impossible. Sous ce rapport, la division algébrique est plus simple que la division arithmétique.

En outre, rien n’empécherait do commencer l’opération par la droite, au lieu de la commencer par la gauche, puisque alors ce serait opérer sur les termes affectés des plus faibles cxiwsants de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné. Dans la division arithmétique, on no [)eut trouver le quotient qu’en commentant par la gauche.

Enfin, telle est l’indépendance des opérations partielles que comporte le procédé, qu'après avoir soustrait du dividende total le produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient, soustrnetion indis/iensabte, on peut, à la seconde opération, diviser l’un par l’autre les deux termes du nouveau dividende et du diviseur, affectés du plus haut exposant d'une lettre différente de celle que l’on avait considérée d’abord; et l’on obtiendra encore un des termes du quotient qui restent à déterminer. Si l’on conserve la même lettre, c’est parce qu’il n’y a pas de raison pour en changer, et que tes deux polynômes étant déjà ordonnés par rapport à la première lettre, les premiers termes à gauche dans le dividende et le diviseur sont propres à donner un terme du quotient, tandis que, si l’on changeait do lettre, il faudrait chercher de nouveau les termes affectés du plus haut exposant do cette lettre.

Division DBS POLTHÔMB8.