Si dans la formule v

/.(i-hx) = x

fl

qui est convergente pour x < i , on suppose x = — i

on aura

l- l.{n~hr)~ l.n = f ^ •

Au moyen de cette série, on pourra calculer le logarithme népérien de n H» i

DBS FONCTIONS BÉBlYiES.

quand on connaitra celui de n. Or, comme /.i = o, on aura succeacivement

Mais cette série étant peu convergente, du moins lorsque n n*est pas trèsgrand, je vais en déduire d'autres plus commodes pour le calcul arithmétique. A cet effet, j’écris les deux séries

Il \ x' x‘

et je retranche la seconde de la première : j’aurai

Je pose

d’où X =: •

I Cette valeur étant moindre que i, les séries (i) et (3), et par suite celle qu’on en déduit, sont convergentes. On aura donc

et par conséquent

/.(«-H x)= af h TTt —

' X^nn-hz 3(a/j-hx}* J

série très-convergente.

41. Exemple, — Supposons qu’on ait à calculer le logarithme népérien de 3 avec sept chiffres exacts. On aura ^

Les termes de cette série décroissent plus rapidement que ceux d'une progrès* sion géométrique dont la raison serait égale à Il suit de lit que, si l’on s’arl'èle à un terme a, l’erreur commise sera moindre que

Or on trouve que le huitième terme de la série est moindre que — >7* Il siif*

tira donc de calculer les huit premiers termes de la série avec huit chiffres exacts : leur somme donnera la valeur du logarithme do a à moins de neuf unités du huitième ordre.

Un nombre bien moins grand do termes sera nécessaire si le rapport — est très*pctit, et l’on démontrera facilement que le premier terme de la sério sera

TÎOTE V.

KulTiMiit, pour calculer la dîflTérfncc de» deux logarithmes avec sept chiffres

exacts, lorsqu’on aura — (*).

•12. Calcul (les logarithmes vulgaires, — - Valeur du module. — (k; que nous venons do dire s’applique aux logarithmes nêpénens. Quant aux logarithmes vulgaires, comme Us ne diffèrent de» précédents que par le facteur constant qu'un nomme le module, il est clair qu’en reprcsenlanl ce module par M, on aura

logf n 4- a) — logw = 2>I I — * m ; 4-. . . !•

M une fois calculé, on pourra donc se passer des logarithmes neperiens.

Or on a

l.to

On trouve, en faisant le calcul,

Calcul du rapport de la circonférence au diaméne, d'après la série arctang^. 43. Si dans la série

jr* J*

arc tangx = x — — — -j-...

on fait X = I, on aura