Lorsque l'on a une suite de quautité

"0» «Il 'S* w-,...»

et que l'on retranche chacune d’elles de la suivante, les résultats obtenus sc nomment les différences premières de ces quantités et se désignent par la ca« ractéristique A placée devant le terme soustrait, do cette manière :

A«, = a, — i/„ Aü, = «, — !/,, A//, =

Les diflcrences premières forment une nouvelle suite

A«a, Au,, Au,,...,

dont les différences, par rapport aux termes do la suite primitive, se nomment différences secondes. On les désigne par la mémo caractéristique A,*affcctée^de l’indice 1 placé en exposant, comme il suit :

A*Uo= AAu«= Au, •— Au,,

A’u, =s A Au, = Au, — Au,,

Les différences secondes donneront lieu à des différences troisièmes, cclles-ci à des différences quatrièmes, et ainsi de suite. Ces divers ordres de différences

s'exprimeront par A’, A

WOTE VI.

et l'on aura, en général,

A'*ü^= Ar-'«^, — a»'-*h„.

2. Lorsque la suite primitive est illimitée, il y ■ des diflerences do tous les ordres; mais, si elle se compose d’un nombre fini m de termes, on voit qu’il n'y aura que m — i diflerences premières, m — a dilTérenccs secondes, une seule diflërcnce (m — et il n'y aura pas lieu de considérer de différence dont l’ordre dépasse m — i .

Si les diflerences d’un certain ordre étaient constantes, les différences de l’ordre suivant, et par suite colles d’un ordre supérieur, seraient nulles. C'est

ce qui arrirc dan» l'exemple suiTant, où «, =: n' :

Au A* H

Nous reviendrons sur ce résultat, qui tient à un théorème général ; mais nous remarquerons le parti que l’on peut en tirer pour former rapidement une Table des carrés.

Supposons qu’on ait d’abord écrit les deux premiers nombres de la première colonne et le premier de chacune des colonnes suivantes : je dis qu'on pourra continuer le tableau aussi loin qu'on voudra par de simples additions.

En effet, si l’on ajoute a, premier nombre de la troisième colonne, au nombre i , qui est sur la mémo ligne dans la deuxième, on formera 3; en ajoutant 3 à i, on aura 4* carré de 2.

Si l'on ajoute 2 h 3, on aura 5; 5 à 4t 9i carré do 3; et ainsi de suite.

Les cubes donnent lieu à une remarque analogue : seulement les différences ne sont constantes qu’à partir du troisième ordre.

Étant donné m-hi nombres t/„ «*, trouver: i» Vexpression du terme

général u„ en fonction du premier terme et de ses différences successives ; 2® Vexpression d& A"«, en fonction des nombres proposés.