Deuxième exemple. — Diviser
4o/‘— Sôj:*— i8x*y par 5.r’— 8x’— 6.^.
Voici le tableau des calculs, en ordonnant par rapport à y :
— 4oj‘-t-C8.;9''-t-25j-’^’-(-ai i8.r*r — 56j:') 6^:7 — Sx‘
H 4oj*48.r>'‘ — ) —6y‘-t-4xr^ — Zx^x-hyx*
1" reste aoj^ ' — -1- 21 — i8jc‘/ — 56x*
— ao.^‘-(- 24J:’/’-t- Z'xx'jr^
a“ reste ’ — i Sx^y^ -t- iZ.ey' —\ix'y — 56 j*
-+- iSj*/’ — i8j:^^’ — a4-rV
3* reste 35.r^/’ — ài^y — 56x*
— 35;r^/’ -t- l^‘ix'y+ 56 x*
reste final o
Comme il importe aux commençants do se familiariser avec les opérations algébriques, et surtout de calculer promptement, nous allons traiter de nouveau le dernier exemple, en indiquant les simpliGcations qu’il est à propos d'introduire.
Elles consistent, comme en Arithmétique, à soustraire du dividende chaque produit partiel, immédiatement après avoir formé ce produit.
— 4or*-t-68.y‘ -4-25 jy -1-2 iZx'y — i6j^ ) 5r* — 6.rr— 8x’
I" reste -h aoxi-* — 39x>y -(- 3i yr’— 1 8xy — 56x" ) —Sy’-hixy^—Zx'y-^yx* a' reste — iS^y -h 53j^y- i8x’/— 562:»
3* reste -h 35jr'y— 42x‘j— 56x‘
reste final ' o
Si l’on divise d’abord — 4oj^‘ par 5 v% il vient pour quotient — Sy*. Multipliant 5/’ par — 8jr’, on a — 4or‘, qui, changé de signe, donne -t-4o.v‘; et ce terme détruit le premier terme du dividende.
De même, — Gxrx— 8y donne -1-, et pour la soustraction, — 48x/*, qui, réduit avec -|-68.rr’, donne pour reste -i-aoxr*. Enfin, —x^x—6y‘ donne et pour la soustraction, — 64-ry’, qui, réduit avec -H25xy’, donne — 39x’/^. Iæ résultat de la première opération est donc -t-2o.y — 3gxy suivi des autres termes du dividende qui n’ont pas été réduits avec les produits partiels déjà obtenus.
On opère sur le nouveau dividende comme on a opéré sur le dividende primitif, et ainsi de suite.
rUAPlTKE PREalEE.
Troisième exempte. — Soit à diviser
gSfl — 73n’-i-56fl*— 25 — Sgo* par — 3n’+ 5 — 1 1 n -t- 7«*.
56n* — Sgo* — jZa' -t-gSa — 25 7a’ — 3a’ — iia-i-5
1" reste — 35a’-<- i5a’ -t- 55a — a5 j 8a — 5 2* reste o
39. Il peut arriver que l’un des polynômes proposés, ou tous les deux, renferment plusieurs termes aiïectés d’une mémo puissance do la lettre par rapport à laquelle on veut ordonner.
Comment doit-on, dans ce cas, disposer les polynômes et effectuer la division?
Soit A diviser 1 1 a’ô — igaic -h loa" — i5a’c -t- 3«ô’ i5ôc’ — 5ô’c par 5a’ H- 3ab — 5bc.
On remarque que les deux termes iia’i — i5q’c peuvent être mis sous la forme
(lié— i5c)a’, ou
on écrivant une seule fois la puis.sance a’, et plaçant à gauche, dans une même colonne verticale, rcnsemblo des quantités qui multiplient cette puissance; ce polynôme multiplicateur s’appelle alors, par extension (3), le coefficient de a’.
[Cette seconde manière de réunir les termes affectés d’une même puissance est préférable à la première, sous deux rapports : 1° parce que, s’il y a beaucoup de termes dans le dividende et le diviseur, un a de la peine à les faire tous tenir sur une même ligne horizontale ; 2° parce que, comme le coefficient de chaque puissance doit être lui-même ordonné par rapport à une seconde lettre, on est obligé, si le premier terme est soustractif, de faire éprouver aux termes une modification qui peut induire en erreur lorsqu’on emploie la première manière. Soit, par exemple, l’expression — i5é’a’ -+- -jhea' — 8c’a’; la modification consiste à mettre cette expression sous la forme
— (i5é’ — 7if-s-8c’)a’ (15);
au lieu que par la seconde, on l’écrit ainsi :
-t- ybc — 8c’
et, de cette manière, on a l'avantage du conserver à chaque terme le signe dont il était d’abord affecté. ]
Pareillement,
DITI8I0R DES POLTKÔMBS.
— ig/itr ■+■ ’iab* s’écrira
Cela posé, voici comment on efTectuera l’opération :
ion’-(-ii6 la’-*- 3i’| a — 5é’c-t-i5éc’ | 5a’ -t- 3éa — bbc
— i5c I — igéci I la-^-b — 3c
i“ reste -+- 56 a’-i- 36’ a — 56’c-+-i56c’
a* reste o
Divisant d’abord loa’ par 5a’, on a aa pour quotient.
Multipliant le diviseur par aa et retranchant le produit, on obtient un premier reste. Divisant la partie afTectée de a’ dans ce reste, par 5a’, on a pour quotient 6 — 3c. Multipliant successivement chaque partie du diviseur par 6 — 3c, et retranchant chaque produit, on trouve pour résultat O. Donc aa -H 6 — 3c est le quotient demandé.
Pour nous rendre compte d’une manière générale du cas précédent, qui est le plus compliqué de la division, désignons le dividende par Aa* ■+■ B/P -+-Ca’ — Da — E, et le diviseur par A'a’-i- B'a -s C'.
[C’est un usage en Algèbre, lorsqu’il doit entrer dans une question un grand nombre de quantités, d’en désigner d’abord un certain nombre par des lettres différentes; et, pour ne pas trop multiplier le nombre de lettres, de désigner les autres par les mêmes lettres accentuées. Les accents ', ', ", se prononcent prime, sceontU-, tierce.
Dans ces deux polynômes, chacun des coefficients A, B, C, D, E, A', B', C', désigne l’a.ssemblago de plusieurs lettres. Ainsi A a' représente toute la partie du dividende affectée de a‘, et ainsi des autres. Cela posé, puisque le plus haut exposant de a est 4 dans le dividende et 2 dans le diviseur, il doit aussi être égal k 2 dans lo (|Uotient. qui est alors do la forme A” a’ -t- B'a C*. Pour déterminer la partie de ce quotient affectée de la plus haute puissance, on remarque que le produit des deux parties A'a’ et A'a’ no peut éprouver aucune réduction avec les autres parties du produit total, et par conséquent doit être égal à la partie Aa* du dividende, affectée do la plus haute puissance. Donc, réciproquement, si l’on divise A a* par A'a’, on doit avoir la partie A'a’ du quotient; cela revient à diviser A par A', puisque a* divisé par a’ donne a’. Si A et A' sont euxmêmes des polynômes composés d'une ou de plusieurs lettres, on agit sur eux ainsi qu'il a été dit précédemment, ce qui exige qu’on ordonne d’abord les deux polynômes par rapport à l’une des lettres qui y entrent. 'Voilà pourquoi nous avons dit plus haut qu'en écrivant les termes affectés d’une même puissance dans une colonne, il faut avoir soin de les ordonner par
CHAPITMR PREMIER.
rapport à une seconde lettre ; on les ordonnerait même par rapport à une troL'i('‘nio lettre, si plusieurs termes d’une colonne renfermaient un même exposant de la seconde lettre.
La i«trtie A*«’ étant obtenue, on multiplie chacune dos parties du diviseur i>ar et l'on retranilie au fur et à mesure les prmluits partiels qu’on obtient, ce qui donne un premier reste sur lequel on opère comme sur le dividende proposé.
Voici deux nouveaux exemples du cas qui nous occupe. (On a eu soin d’y joindre les divisions partielles que nécessite l’opération principale.)
“ lai’
«’j-t- loi*
» -t- ai’
— agir
-3iiV
— gir’
rt'-f-Si’
rt’ ■+■ loi*
— iSb’r
- 6iV
Première division partielle.
inè — agir -t- i5r’ | 3i — 5r — gir -H i5r’ j 4i — 3r
Seconde division partielle.
i5i’ — aSi’r — gir’ -H i5c* ) 3i — 5r — gir’-(- lir’ I 5i’ — 3r’ O
— lO
a*- 3i> -t-aai’
-gi’
-ait 3i a-+b’ — ai |-5
j an’ — 3i|a’-(-4i n-+-i ) -1-4 1 -I
- gi'
-i-ayi I
-t-iai’
tB
Division DBS POLTNÔlIES.
Première division partielle.
Deuxième division partielle.
— gè’ -I- 27 h — 20 1 3 /) — .“i
Troisième division partielle.
Quatrième division partielle.
30. Il existe un autre cas assez important dans la division algébrique : c’est celui où le polynôme tlividende contient une ou plusieurs lettres que ne renferme pas le ilmseur. On pourrait ordonner les deux polynômes par rapport à l’une des lettres communes, et faire la division comme à l’ordinaire. Mais il y a un moyen beaucoup plus simple d’obtenir le quotient.
Supposons, par exemple, que le dividende contienne diverses puissances de la lettre n, et que cette lettre n’entre pas dans le diviseur (on dit alors que celui-ci est indépendant de a ). En ordonnant le dividende par rapport à n, on peut le mettre sous la forme An' -h Br/" Cn’ -t- Dn E, 4 étant supposé le plus haut exposant de a dans ce polynôme ; A, B, C, D, £ sont des monômes ou polynômes qui ne renferment pas n. Soit d’ailleurs M le polynôme diviseur, indépendant de n.
Cela posé, puisque le diviseur multiplié par le quotient doit reproduire le dividende, et que le diviseur M ne contient pas n, il est clair que le quotient doit être un polynôme affecté des mêmes puissances de la lettre n, que celles qui se trouvent dans le dividende. Ainsi ce quotient est nécessairement de la forme
A'rt' -t- BV -I- C'a’ -h D'a ■+■ E'.
Or, si l’on conçoit que ce quotient soit trouvé, et qu’on ait multiplié successivement le diviseur tout entier par chacune des parties A'a', B'a\
