CHAPITRE PREHIBR
C’a*,..., les produits seront A'Mo*, B'Ma’, C'Mo*,. . . ; et, comme ils ne peuvent éprouver entre eux aucune réduction, puisque la lettre ordonnatrice y est affectée d'un exposant différent, ils doivent être respectivement égaux aux termes Aa‘, Bo*, Ca*,. . . du dividende.
Ainsi l’on a
A'M = A, d'où A'=A:M,
1VM=B, d'où B'=B:M,
C'M = C, d’ou C' = C:M,
et ainsi de suite; d'où l'on déduit cette proposition générale :
Pour qu’un polynôme ordonné par rapport à une certaine lettre soit exactement divisible par un polynôme indépendant de cette lettre, il faut que chacun des coefficients des diverses puissances du premier polynôme soit exactement divisible /mr le second. Les coefficients des diverses puissances de la lettre dans le quotient ne sont autre chose que les quotients successifs de la division des coefficients du polynôme dividende par le polynôme diviseur.
Soit à diviser le polynfime
’ia’b’ — 3abc‘ — 2/<V’ -4- A* — 3n*éc* -t- "ialf c — «’c* -f- bc' d’b’c par é* — c*.
Le dividende ordonné par rapport à a peut être mis sous la forme
(3i* -H é’f — 3éc* — c’)a’ -h{Zb‘c — 'ibc’)n -y- b’’ — lié c' -y- bc' \ effectuant les trois divisions partielles marquées par
3 b’ -y- b’ c — 3 bc’ — c* 3AV — 3ér* b’ — ib'r' -y- be' b’ — <■* ’ A’ — c’ ’ b' — c’ ’
on trouve pour quotients 3A-+- c, 3Ac, b^ — bc’ -, ainsi l’on a pour le quotient total
[Zb -y- c)a’-y- Z beu b’ — Ac*.
Los deux derniers quotients 3Ac et A’ — bc' peuvent s'obtenir plus aisément que par le procédé ordinaire, si l’on observe : i" que 3A*c — 3 Ac* équivaut (21)à3Ac(A’— c’);2° que A’ — a A' c* -t- Ac* équivaut à
A(A* — aA’c’-t-c*), ou A(A* — c’)* (19).
Nous observerons, à ce sujet, que, s’il existe des règles générales pour effectuer toutes les opérations, ces règles peuvent souvent être simplifiées ; et il ne faut jamais négliger d’employer ces simplifications lorsque l’occasion s’en présente. On ne s’en conforme que mieux à l’esprit du langage algébrique.
DIVISION DBS POLTNÔMBS.
31. l’armi les dilTérents exemples de division algébrique, il en est un remarquable par ses applications, et tellement fréquent dans la résolution des questions, que les algébristes en on fait une espèce de théorème. On a vu (S et 19) que (« -i- h) [a — b) donne pour produit a'— A’; donc, réciproquement, té — b’ divisé par n — h donne a-t-b pour quotient.
En divisant également A' par a — b, on trouve un quotient exact et égal à a’ ai -i- A’.
De même, a‘ — A‘ divisé par a — A, donne pour quotient ré-t- n^b -t- aA’-e A'.
Ce sont des résultats qu’on peut obtenir en suivant le procédé ordinaire de la division ; et l’analogie porte à conclure que, si grand que soit l’exposant qui affecte les deux lettres a et A, la division se fait encore exactement ; mais l’analogia n’équivaut pas à une certitude rigoureuse. Pour acquérir cette certitude, désignons par ai l’exposant, essayons la division de a" — A" par a — A.
I " reste ■+ tf ' b — A" ( a**" ‘ ’
Divisant d’abord a” par a, od a pour quotient a""‘, d’après la règle des exposants (22). Le produit de a — A par a""' étant soustrait du dividende, on a pour premier reste a*^' A — A", expression qu’on peut mettre sous la forme A^a*^' — A""‘ ). D’où l’on voit que, si l’on suppose a”-' — A^' divisible exactement par a — A, il en est de même de a" — A'"; ce qui veut dire que, si la différence des puissances semblables d’un certain degré de deux quantités est divisible exactement par la différence de ces mêmes quantités, la différence des puissances d’un degré plus grand d’une a’ — A’
unité est aussi divisible. Or ^ donne un quotient exact et égal à a b -, donc donne un quotient exact et égal à
(té- lé) a-b '
a’-(- A(a -t- Al, ou bien encore n^-i ab -+- A’.
Pareillement — a
- lé -b
ou
donne un quotient exact et égal à a’-+- A(a’-H aA -I- A’), ou a* -t- a’A -f- aA’-f- A’,
