CHAPITRE PREMIER
l'I en gt'néral , donne un qiiotioni exact et 6pal à
ir''' ■+ <r ’A -H H-. . . -t- A”
,V. H. O quotient suit une loi facile à rt'lenir ;
I" L’exposant de la lettre n est Agal à /« — 1 dans le premier terme, et diminue ensuite d'une unitA d’un U^rmo à l’autre jusiju’au dernier, où il est nul;
a“ L’exposant de A est nul dans le premier terme, et augmente d’une unité d’un terme à l’autre jusqu'au dernier, où il est égal à — 1 ',
V Le degré de chaque terme est égal à /« — i ;
4° la> nombre total des termes de ce quotient est égal ù ni.
On peut vérifier « /jo.ucriori l’exactitude de la proposition, en effectuant la multiplication indiquée ainsi :
(«**■’ ■+■ ■+■ fl*'"’ A’-t- .. .-t- «A"'’-i- A""' ) (n — A).
On reconnaît que les produits partiels et — A" sont les seuls qui ne SC détruisent pas dans la réduction. Par exemple, en multipliant fi" ’A par n, on trouve pour produit o""' A; mais si l’on multiplie 0""' par — A, il vient pour produit — A, terme qui détruit le préa^dent. U en est de. mémo des autres termes.
Nous engageons les commençants à réfléchir sur le moyen de démonstration précédent, qui est assez souvent employé en Algèbre.
33. Nous avons établi (23 et 2f>) les caractères principaux auxquels on reconnaît qu'une division de quantités monômes ou iwlynôims n’est pas exacte; ce qui veut dire qu’il n'existe pas de troisième quantité algébrique entière qui, multipliée par la s»»condc, reproduise la première.
Nous ajouterons, quant aux polynômes, que souvent on reconnaît à leur inspection seule, qu'ils ne [leuvent être divisibles l’un par l’autre. Lorsque ces polynômes renferment deux ou plusieurs lettres, il faut, avant d’ordonner par rapport à l’une d’elles en particulier, jeter un coup d’œil sur les deux termes du dividende cl du diviseur, affectés resjicctivemenl du plus haut exposant de chacune des lettres. Si, pour une de ci's lettres, les termes du plus haut exposant no sont pas divisibles l’un |iar l'aulro, on i>cut conclure que la division totale est impossible. Cette remarque doit se répéter dans chacune des opérations que comporte le proa'dé.
Soit, par exemple, — Sn’A -1- ■;ab'‘ — 1 1 A* à diviser par
4«’ — nb ■+■ 3A’.
Si l’on a égaril à la lettre n, la division parait possible; mais eu égard à
Digi’ ' d by Giiogh
ta letlro b, la division est impossible, puisque — i\b' n'est pas divisible |)ar 3A^
Nous terminerons par les considérations suivantes :
1° Un polynôme ne peut jamais être divisible par un autre polynôme renfermant une lettre qui ne se trouve pas dans le dividende ; car il est impossible qu'une troisième quantité entière, multipliée par une seconde dépendant d’une lettre, donne un produit indépendant de cette lettre.
a° Un monôme n’est jamais divisible par un polynôme, parce que (18) tout polynôme multiplié par un autre donne au produit au moins deux termes qui ne se réduisent pas.
3° Un polynôme ne peut être divisible par un monôme qu'autant que celui-ci divise exactement chacun des termes du dividende ; et le quotient s'obtient en mettant en évidence le Acteur commun à tous les termes.
§ II. — Des fractions algébriques ou littérales.
Du plus grand commun diciseur.
33. Les fractions algébriques doivent oA-ir i l’esprit la même acception
que les fractions arithmétiques, telles que -i — i
• ■ ; c’est-à-dire qu’il
faut concevoir qu’on ait divisé l’unité en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans le dénominateur (le dénominateur pouvant d’ailleurs être un monôme ou un polynôme), et qu’on prenne une de ces parties autant de fois qu’il y a d'unités dans le numérateur. Dès lors, l’addition, la soustraction, la multiplication et la division doivent s’effectuer suivant les règles établies en Arithmétique pour le calcul des fractions. Toutefois, on doit se conformer, dans les applications de ces règles, aux procédés indiqués précédemment pour le calcul des quantités algébriques entières, monômes ou polynômes. Ainsi il serait superOu du s'y arrêter ; nous aurons, par la suite, as.scz d’occasions de nous familiariser avec ces règles.
La réduction des fractions atgébrii/ues à leur plus simple expression mérite néanmoins quelques développements particuliers.
Lorsqu’une division de quantités monômes ne peut s’effectuer exactement, on l'indique à l’aide du signe connu; et, dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d’une fraction que nous avons déjà appris à simplifier (£)). Quant aux expressions fractionnaires polynômes, voici quelques cas dans lesquels il est aisé de les réduire :
Soit, pour premier exemple, 1 expression
On remarque que cette fraction peut (19) être mise sous la fornu;
riUHI'RK PRKHIKR.
(a t l>] In II) . I r . I
— ^ ~f^ÿ — i'iippriniaiil le fadeur « — />
on oblieni pour resulUt r-
commun ans deux lermc.-i,
ba‘ ~ loa'h i bah'
Soit encore I expression 8«- 8n’7/
Otto expression se ilécaimfxise ainsi :
5a{a’ — aoA -i- A’) 8o’(o — h)
ou bien
bafa — A)’
supprimant le facteur commun a(a — A), on trouve pour n'-siillal
Sa
Les cas particuliers que nous venons d'examiner sont ceux où les deux termes de la fraction sont décomposables dans le produit de la somme par la dilTéronce de deux ipiantilAs, dans le carré de la somme ou de la différence de deux quantités; et l'iiabitudo du calcul apprend à opérer ces décompositions lorsqu'elles sont possibles.
Mais les deux termes de la fraction peuvent être des polynômes plus compliqués; et alors, leur décomposition en facteurs n'étant plus aussi facile, on doit avoir recours au procédé r/« p/as graml commun dicisnir.
Otto théorie, intimement liée à celle des équations, ne laisse pas que de présenter quelques difficultés. Aussi notre intention est-elle de n'en donner ici qu'une partie, sauf à y revenir plus loin, et lorsque nous aurons acquis les matériaux nécessaires pour l'établir d'une manière complète (” ).
'fhéoric élémentaire du plus ^rand commun diviseur nl^ébritpw .
3 i. Le plus grand commun diviseur de deux fiolynômes est le inlyndnie le plus grand par rapjmrt aux exposants et aux coefficients, rpii divise exactement les deux polynômes produises.
La propriété caracléristiqiie du plus j;rand commun diviseur est que, si l'on divise les deux polynômes proposi’-s par leur plus prand commun diviseur, les quotients qui en résultent sont premiers mire eux, c’est-àdire ne renferment plus aucun facleur commun.
Oite proposition est évidente d'après la définition.
(•) Les commençants peuvent mOme, à la rin.uciir, se dispenser pour te moment de voir cette tlicorie qui nous sera fort peu utile avant le Chapitre VII.
Diôilized r.v Goo<lIt
I>i: l’LUS tiKANI) COMMUN DIVISEUR.
Hîi. On a vti un Arilhinéti(]ue :
I “ (Jiir le /tliii gntnd enmmuH difiseiir tic deux numbres inlwrs co/itie/U I titimie Jiu lcun tous les db’iseurs ptirticuliers romumus aux deux nombren, et ne peut pas renfermer d’autres jacteurs ;
2.° Que te plus grand commun diviseur de deux nombres entiers est le me'me ipie celui ijui existe entre le ptiu petit nombre et le reste de leur division.
La théorie du plus ttrand commun diviseur algébrique repose également sur ces deux principes, pour la démonstralion desquels nous renvoyons au septième Chapitre.
Ceci admis, supposons d'abord qu'il s agisse de trouver le plus grand eommun diviseur entre les deux polynômes
a'—a’b-v ’iub'—'ib’ et a’—iab-i ^b‘.
Voici d'abord le tableau des calculs :
l’reinière opération :
«’ — a'b -V- ’iab’ — ib‘ I a’ — 5ab -e 4 /<’
— ab’ — 36' 1 ri 4-46
-t- lgo6’ — 196’ ou bien -1- ig/i'ln — 6).
Seconde ojM'ralion :
iab 46’ I ri — b
Donc a — b est le plus grand commun diviseur.
Commentons par diviser le polynôme du plus haut degré par le polynôme du plus faible degré ; le quotient est, comme on le voit dans le tableau ci-dessus, n -t- 46; et l’on obtient (xiur reste ig«6’— 196’.
Il résulte du second principe, que le plus grand commun diviseur cherché est le même que celui qui existe entre ce reste et le polynôme qui a sc'rvi de diviseur.
Mais 1906’— igô-* pouvant être mis sous la forme ig6’(rt — 6), on voit que le facteur 196’ divise ce reste sans diviser n' — bab 46’; donc, en vertu rlu premier principe, ce facteur ne fH'ut entrer dans le plus grand commun diviseur; ce qui veut dire que le plus grand commun diviseur entre les quantités n’— bah -t- 4/r , ig6’(rt — b), et par conséquent entre
38 nilAPITRE riEMIER..
les deux quantités proposées, est le même que celui qui existe entre n' — 5ab -h et a — b.
Ainsi l'on peut, sans inconvénient, supprimer le facteur igé^; et la question est ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre
o’ — Snb-¥-b’ et « — b.
Divisant maintenant le premier de ces deux polynômes par le second, on a pour quotient exact, a — b \ donc a — ib est leur plus grand commun diviseur, et, par conséquent, c'est aussi le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés.
Reprenons le même exemple, en ordonnant les deux polynômes jiar rapport à b.
— Zb^ -t- 4ib' — fi’b ti^ et 4ô’— 5(iô -e Première opération :
— lîi’-i-iané’ — i^ii’b -h j 4ô’ — btih -t- ii^ ,
— 3«ô' — «’ô -H 4"^ I — 3i, — 3rt
— iiab' — in'b-t-idn'
— igrPi -e igo'
ou bien, -i- ig«’( — b n).
Seconde opération :
4Ô'— bab -h rt’ f — b -1- n
— ab -t- a‘ <1 — ib -t- fl
Donc — ô H- (I, ou n — ô est le p. g. c. d.
Au premier abord, on est embarrassé pour faire la division des deux polynômes, parce que le premier terme — 3b’ du dividende n'est |ias divisible par le premier terme 4 b’ du diviseur. Mais si l'on obsene que le coefficient 4 de celui-ci n'est pas facteur de tous les termes do
4b’— Sfib -h a’,
et qu'ainsi, en vertu du premier principe, 4 ne saurait faire partie du plus grand commun diviseur, on peut, sans aucun inconvénient, introduire ce facteur dans le dividende, ce qui donne
■ — i%b’ \iab’ — 4fi’b + 4<i‘\
et alors la division (ic.« doux premiers termes devient possible.
