DU PLUS GRAND CONHUN DIVISEUR

un reste üont le premier terme est — Comme y5 contient encore

le facteur 3 qui entre dans 6, -il suffit de multiplier ce reste par s pour continuer la division qui, étant effectuée, donne pour premier reste principal, 4 1 1 -t- 274 ab^ — 1 37 6‘ .

Or il est facile do reconnaître que, dans ce reste, il existe un facteur commun 137 i’; mais puisque ce facteur n’entre pas dans le second polynôme, on peut le supprimer, comme ne faisant |ias partie du second diviseur; et la question est ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre les polynômes

6/r’ -(- Uja'b -t- Sab^ — 5ô’ et 3«’-f 2«ô — b'.

Effetuant la division de ces deux polynômes, on trouve pour quotient exact, 2rt -1- 5ô ; ainsi le reste 3n’ -lab — b' est le plus grand commun diviseur cherché.

38. Renmnpic. — On pourrait demander si les suppressions qu’on opère dans le cours du calcul, de facteurs communs à tous les termes de l’un des restes, n’ont pour objet que de simplifier les calculs, ou bien si ce sont des opérations indispensables. Or on peut aisément reconnaître que ces suppressions sont nécessaires; car si, dans l’exemple précédent, on ne supprimait pas le facteur i37Ô^ il faudrait, pour rendre [lo.ssible la ■ division du premier terme du nouveau dividende par le premier terme du diviseur, multiplier tout le dividende par 1376’; mais alors on introduirait dans le dividende un (acteur qui se trouverait aussi dans le diviseur ; d’où il résulterait que le plus grand commun diviseur cherché se compliquerait du facteur i37Ô’ qui ne devait pas d'abord en faire |iartie.

L'exemple suivant est propre à confirmer ce qui vient d'étre dit.

39. Soit à trouver le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes

ab 2»’ — ’ilé — 4 bc — ac — cet

<jrt( -1-2 0^— bnb -1- 4' ' -t- 8ôc — I2ÔL

Première opération ;

— \oc 1

— 12ÔC

a — 12 ô” -s- Sbc ^ 4<’

ou bien,

CIIAI'ITIIK l’RlillIKR.

Seconde opération :

■itf — 5i I rt — lié’ 1 Ht -h 3b -i- c gc I -t- 8éf t

— 8é II — Il b'

^ 8r 4- 8ér 4- 4c’

IXjnc irt 4- 3b -t- c est le plus pranii commun diviseur.

Après avoir ordonné les doux (xilynômcs, on jk'uI, sans aucune pré|wration, elTecluer leur division, ce qui donne pour premier rosie

Gé I a 4- Gé’

— lOf I — liée

Pour continuer l'opération, il faudrait, en prenant le second polynôme [K)ur dividende et ce reste pour diviseur, multiplier le nouveau dividende par Gé — loc, ou simplement par 3b — 5c, parce que le facteur a entre iléji dans le premier terme du dividende; mais avant d'effectuer cette multiplication, voyons si ce facteur 3b — 5c ne diviserait pas le second terme du reste, savoir gé’ — liée — 5c’. Or cette division réussit et lionne pour quotient exact 3 i 4- c ; d’où il suit que le reste peut se mettre sous la forme

Comme le facteur 3b — 5c se trouve dans ce reste, et n entre pas dans le nouveau dividende [puisque ce facteur étant indé|)endant de la lettre «, devrait (30) exister entre les coefficients des diverses puissances, de cette lettre, ce qui n'est pas], on peut, sans aucun inconvénient, le supprimer .

Cette suppression est d’ailleurs indispensable, parce qu’autrement on devrait introduire ce facteur dans le dividende; et alors les deux polynômes contenant un facteur commun qu’ils n’avaient pas auparavant, le plus grand commun diviseur serait changé; il se compliquerait du facteur 3b — 5c qui ne devait pas en faire partie.

Ixi suppression faite, on effectue la nouvelle division, ce qui donne, un qiiolienl exact; donc ni 4. 3b 4- r est le plus grand commun diviseur.

■iO. Nous proposerons, pour dernier exemple, de trouver le plus grand commun diviseur entre le polynôme «* -1- ■+- %b‘ cl

le polynôme 4rt’A aaé’ — aô’, ou simplement, ao’ -+- tib — b‘‘, puisque le facteur ib peut être supprimé dans le second.

Première opération :

tf -(- ï4 ^ 'l'b^ — 48«ô^ -t- I ti é‘ ( a rt’ <ib — ô’

-t- aon’i -I- 36n’i’ — 48«i’-t- 16 A* S -t- loab -e i3ô*

-4- aôo’A' — 38nA‘ -i- i6A*

— 5i «A’ -t- agA*

ou bien, — A^( 5i n — agA).

Seconde opération :

Multiplication par aGoi, carré de 5i.

5aoa«* -t- aCoi «A — aCoi A’ / 5i « -e agA — 5aoa«’-i- 'ifjbinb \ ioa«-t- logé

-+- 555g«A — vtioi A*

-t- 555goA — 3 161 A’

a' reste -t- 56oA’

L'exposant de la lettre « dans le dividende surjiassanl do <leux unités rvlui de la môme lettre dans le diviseur, on multiplie tout le dividende par le cube de a, c’est-à-dire par 8. Cette préparation faite, on efft'cluc trois divisions conséentives, et l'on obtient pour premier reste princiiwl — 5i «A* -t- agA*. Supprimant le facteur hi‘ dans ce reste, on a pour nouveau diviseur — 5in -v- agA, ou changeant les signes, ce qui est permis, ■il a — -igb; le nouveau dividende esi d'ailleurs an’ ■+■ ab — A’.

Multipliant ce dividende par le carré de 5i, ou par a6oi, puis effectuant la division, on obtient pour deuxième reste principal ■+■ 56oA’; ce (]ui démontre que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux, c'est-à-dÿp n’ont aucun facteur commun. En effet, il résulte du second principe (35), que le plus grand commun diviseur doit se trouver comme facteur dans le reste de chaque opération, ainsi il devrait diviser le reste .^CoA’ ; mais ce reste est indépendant de la lettre principale; donc, si les deux polynômes pouvaient avoir un commun diviseur, il devrait être indépendant de ff, et [>ar conséquent (30) se trouver comme facteur dans les ciK'fficients des diverses puissances de cetU' lettre, que renferme chacun des deux polynômes proïKisés, ce qui n a évidemment pas lieu.

(es exemples snflisenl pour mettre les rommenfants au fait de la marche

44 CIIAI'ITRt PKKUIIIH. — l>l' PUS (iRAMI UmSElK.

(|ii il faut suivre pour Iruuvpr le plus praiid r^mmiun diviseur do deux (Hilyndmes.

il. Règle générale. — On rimimemr pur Mippnnirr flans 1rs tlrii.i polynâmrs les faneurs mnndntes nnimiuns à fous les termes tir e/iacun tVeux. (11 peut arriver que le facteur monôme qui se trouve dans le dividende, et celui que renferme le diviseur, aient eux-mômes un diviseur l'oinmiin ; dans ce cas, on le met à [lart, comme devant faire partie du commun diviseur chercliô.) Cette suppression faite, on prè/Hirc le ilinilenrle ilr manière à rendre fxtssihie ta dieision de son premier terme par relui du diviseur ( voyez et 36 ) ; puis on rjfecluc la division, ce qui lionne un certain reste de degré moindre que le diviseur, et dans lequel on supprime les facteurs monômes ou polynômes que peuvent renfermer les coefficients des duvrscs puissances de ta lettre principale . On prend en suite ce reste /xair diviseur, te second polynôme /mur dividende, et Con iqière sur les deux polynômes comme sur les prérèdents. On eontinne cette série d’o/jérations jusqu ’à ce qu 'on obtienne un reste qui divise exactement te reste pnirédcnl, auquel cas le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur ; ou bien Jusqu’à ce qu on obtienne un reste indépendant de In lettre prinrifMdr; ce qui indique (iO) que les deux jiolynômes proposés sont premiers entre eux, à moins ijuMIs n aient un facteur commun indépendant de la lettre, li'quel facteur n'aurait pas été découvert dès le commencement de rojiératioii

N. H. Il existe des cas où ce procédé n'est (sis suffismt : mais nous y reviendrons par la suite.

Voici de nouveaux exemples auxquels on peut appliquer le procéilé tel que nous venons de I indiquer :

i" 'l”P‘ 'V ^np’if — -Àiipq' — in’q',

et 2 mp’ q‘ — 4 — ’"l‘‘ '/ -c 3 nqnp .

Le p. c. d. est p — q.

■i" 36// — 1 — ï7«‘ ■+- qr/,

et ■ijer'lé — iSn'b’ — qa^h’.

Ix p. p. c. <1. est g/f* [a — i ).

1-a tlié'orie des quatre premières opérations de l'.Mgèbre et celle du plus grand commun diviseur suffisent |>oiir la résolution d'un très-grand nombre do questions. Nous nous réservons d'établir plus loin de nouvelles règles, à mesure que nous en sentirons la nécessité; et nous allons pas.s>r tout de suite à la résoliilion des problèmes du premier degré.

>OTIONS rRfiLIMlKMHKS Sl'R I.ES