DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ

MITIONS PRÉLIMINAIRES SLR LES ÉOl'ATIONS.

42. On nr considère ordinairemenl en Algèbre que les problèmes dont les énoncés, traduits algébriquement, donnent lieu à des êquntinns. Ein réfléchissant sur la résolution du problème du n” 3, on fxiut voir que cette résolution se compose de deux parties distinctes. Dans la première, on écrit algébriquement les relations que l’énoncé de la question établit entre les quantités connues et les quantités inconnues. On parvient ainsi à l’expression de deux quantités égales, qne l'on appelle équation. Telle est (3) l’expression ix b = a. Dans la seconde |>arlie, on déduit de l’éqiialion du problème une suite d'autres équations, dont la dernière donne enfin la valeur de l’inconnue au moyen des quantité» connues : tel est le

résultat X — ” ^ auquel on est parvenu. Cette seconde partie est ce

qu’on appelle la ré.solution de l’équation.

Ca>mine les règles à suivre |)our mettre un problème en équation sont un pou vagues, nous commencerons par nous occuper de la seconde partie, qui est soumise à des règles fixes et invariables.

D'après la définition d'une équation, toute éi]uation se compose do deux quantités séparée» l'une do l'antre par le signe = . La partie à gauche se nomme la i>rrinier mamhrr, et la partie à droite la saeoml membre.

f)n considère plusieurs espèces d’égalités ;

1° L’égalité qui existe entre des nombres connus et donnés à priori, mais représentés par des lettres ; telles .sont les égalités

qui se vérifieraient immédiatement si l'on mettait A la place de n, b, r. d les nombres particuliers |X)ur lesquels on suppose que cos égalités existent. Elles conservent le nom d'égo///è,ï.

2" Légalité évidente d'elle- même, celle qui se vérifie dans son état actuel ; telles sont les égalités

a5 = 12 ■+■ i3, in — bb = a — h in — 4é.

On les appelle identités ou égalités véri/iéas.

CHAPlrRE II.

4ti

3“ Enlin, l’égalité qui nu pont se vi'rilier avant qu'on y .ut siihslitiié à la place d'une ou de quelques-unes di“s lettres dési;;nant des inconnues, certains nombres dont les valeurs dépendent des nombres connus et donnés qui entrent déjà dans l’égalité.

Pour la distinguer des autres égalités, on la nomme ri/imtinn, et c’est celle dont nous avons à nous occuper.

Il est encore une autre espèce d'égalité dont nous parlerons plus loin ; c’est \'i'-qtifUhn iftriUii/ue.

On partage les équations à une st>ule inconnue en difTérentes classes : celles où l’inconnue n’enlre qu’à la première puissance sont dites du premier dcj^ré. Telles sont les équations

3x 5 = 17 — nx -t- /) = ex -h d.

L’équation ix’ — 3x = 5 — ax’ est dite du deuxième degré.

L’étpiation 4.»^ — 9-r'' -1- x = ax’ -t- 1 1 est dite du troisième degré. En général, le degré d’une équation est le plus grand dos exposants dont l’inconnue est affectée dans l'équation.

On distinguo aussi les équations en éipiations mwiérii/iies et en éi/iiiitions littérales. Les premières sont celles qui ne renferment que des nombres particuliers, à l’exception de l'inconnue, qui est toujours désignée par une lettre. Ainsi

4x — 3 = ax 5, 3x’ — x = 8

sont des équations numériques. Elles sont la traduction algébrique de problèmes dont les données sont des nombres particuliers.

Les équations

ax -t- b — ex -t- d, ax’ -t- bz = c

sont des équations littérales. Les données du problème sont représentées par des lettres. Il est d’usage, pour distinguer dans une équation les quantités connues des inconnues, de désigner celles-ci par les dernières lettres de l’alphabet x, j-, i, etc.

Ces notions établies, voyons comment, une équation du premier degré à une seule inconnue étant donnée, on peut parvenir à la résoudre, c'est-à-dire à trouver pour C inconnue un nombre rpii, substitué à Ui place de celte inconnue dans f équation, y satisfasse, ou bien rende te premier membre identiquement égal nu second. Le résultat auquel on parvient est dit la solution do l’équation ou du problème qui y a donné lieu.

§ I. — Équatioxs du pbemier degré a une seule inconnue.

43. On doit regarder comme un principe commun à toutes les é<juations, qu’on peut, sans troubler une équation. 1“ ajouter à ses deux mem-

ËIJUATI0N8 DU PRKHIKR UBURË A UNE SEULE INCONNUE. 4? bres ou en retrancher un même nombre ; 2“ mulniMer ou diviser ses deux membres par un même nombre, ce qui veut dire que, s'il y a d'abord égalité entre les deux membres, il y aura encore égalité après les opérations dont on vient de parler.

Cola posé, voici deux transformations d'un usage continuel dans la résolution des équations.

Première transformation. — Lorsque les deux membres d’une équation sont des polynôdies entiers, il est souvent nécessaire de transposer certains termes d'un membre dans un autre.

Soit l’équation

Pour dégager x do cette équation, il faut tâcher d’isoler l’inconnue dans le premier membre. Or, si l’on retranche, en premier lieu, i.z des deux membres, l’égalité n’est pas troublée (d'après le principe précédent), et l'on a