CII.VIMTRK II

bn*, inulliplions-les par (io, ce qui revient immédiatement à supprimer le dénominalcur (>o dans les termes fractionnaires, et à multiplier chaque terme entier par Go; on obtient

4oj- — 4 5 ~ bbo ï’i.r.

Remarquons, pour la pratique de celte opération, qu’on peut passer immédiatement do l’équation proposée à celle qu’on vient d’obtenir, en se dispensant d’écrire le dénominateur commun, et ayant soin toutefois de multiplier chacun des termes entiers par ce dénominateur.

Soit, pour second exemple, l’équation

Les dénominateurs ont évidemment des facteurs communs, et le plus petit nombre multiple commun de ces dénominateurs est 24 (voir Arith.^ C’est donc à ce dénominateur qu’il faut réduire toutes les fractions.

Effectuant cette opération et omettant le dénominateur commun 24, on trouve

\ox — 32.r — 3i9. 21 — 52x.

(On a eu soin de multiplier le terme entier — i3 par 24.)

La nouvelle équation est exacte puisque, après avoir réduit les fractions au même dénominateur, on a multiplié les deux membres par le même nombre 24.

Nous pouvons déduire de là cette règle générale : Pour faire disparaître les dénominateurs d^une équation y commencez par former le multiple le plus simple possible de tous les dénominateurs (ce nombre est le produit de tous les dénominateurs s’ils n’ont pas de facteurs communs). Multipliez ensuite chaque terme y s* il est entier y par ce multiple; s'il est fractionnaire y divisez le multiple commun par le dénominateur de la fraction et multipliez son numérateur par le quotient obtenu.

Nous engageons les commençants à se bien pénétrer de la règle que nous venons d’établir, parce qu’elle donne l’équation sous la forme la plus simple possible.

Soit, pour nouvelle application, l’équation littérale

a.r 2c’x , ^br'^x ba^ ic^

O al) ir b a

Le multiple le plus simple de tous les dénominateurs est évidemment a^P. Ainsi, multiplions chaque terme entier par réb^y et le numérateur de chaque terme fractionnaire par le quotient de a^ iP divisé par le déno-

fiQUATIOMS DU PHBMIEB DKGRfi A UNE SEULE INCONNUE. 49

ininatcur de ce terme. Il vient alors

n‘li,T — ^à'bc^x -t- — 5o‘ -i- — Ztr’b^.

Appliquons les principes précédents à la résolution de l'équation 4x — 3 = ax -t- 5.

Elle devient d'abord, par la transposition des termes — 3 et ax,

4x — ax= 5-1-3, ou réduisant, ax=8.

Divisant les deux membres par a, on trouve enfin

Et en elTct, si l'on substitue 4 à la place de .r dans l'équation, il vient

4 X 4 — 3 = 2 X 4 -t-5 ou i3=i3.

Soit, pour second exemple, l'équation traitée (44)

On obtient d'abord, en chassant les dénominateurs, lox — 3ax — 3ia = ai — 5ax.

Transposons dans le premier membre les termes en x, et dans le second les termes connus ; l'équation devient

lox — 3ax -H 5ax = ai -t- 3ia, ou, en réduisant, 3ox= 333.

Divisant les deux membres par 3o, on obtient

333 M i 3o ~ lo ’

résultat qu'on vérifierait en remplaçant x par cette valeur dans l'équation proposée.

Soit encore l'équation

(3a — x) (a — b) -h aax = ib[x -h a).

Il faut d'abord effectuer les multiplications indiquées, afin de réduire les deux membres à des polynômes, et de pouvoir ainsi dégager l'inconnue x. Or, si l'on applique la règle établie (17) pour la multiplication des polynômes, il vient

3a’ — ax — 3aô bx ■+■ aax = 4ôx -t- ^ab\

Alg. B.

5o CHAPITRE II.

d’où, transposant et réduisant,

ax — = yab — 3«’.

Observons maintenant que — 3 6 x est la même chose que x,

ce qui donne

[n — 3 A) X = ’^nb — 3rt*.

Divisant enfin les deux membres par n on trouve

"^ab — 3fl’ a-Zb '

En général, pour résorudre une équation du premier degré, quelque compliquée qu’elle soit, il faut : i® commencer par chasser les dénominateurs y sUl y en a, et effectuer y dans les deux membres de Véquation y toutes les oj)érntwns algébriques qui se présentent ; on parvient ainsi à une équation dont les deux membres sont des polynômes entiers; 2“ trans- /x)ser dans un meme membre (c’est ordinairement le premier) tous les termes affectés de Vineonnuey et dans Vautre membre les termes connus; 3® réduire a un seul tous les termes affectés de x si Véquation est numérique y et y si Véquation est algébrique y former de tous ces termes un seul produit composé de deux facteurs y dont Vun soit x et Vautre Vcnsemhle des quantités qui multiplient x, réunies avec leurs signes respectifs ; 4® enfin y diviser les deux membres de Véquation par le nombre ou le polynôme qui multiplie Vineonnuey et effectuer la division s^il est possible» Voici un exemple où la règle précédente doit être appliquée dans toutes ses parties : résoudre l’équation

^ab — 6* a->t- b

g* — bx

En faisant disparaître les dénominateurs, on a

= b{a — b) {iab — b^) — 2b (g’ — b^)x -h (g* — b^) (g’ — bx);

effectuant les multiplications indiquées,

a^bx -H T.ab'^x -f- b^x — g* Z»’ — 2g/>* — Z»‘ — Za*b -h 3gZ>’

= — ab^ — ^ ab^ -k- b* — bx ib^ X -\-cé — a^b^ — bx ^ b* x;

transposant et réduisant

4g’^x-f- Oiab^x— 2^®x = 4«’^’— 6aP-h ‘ib*-i-3a*b -h g*; réunissant en un seul tous les termes affectés de x,

b{^a^-h 2ab — aZ»’)x = ^a^b' — 6g^®-f- ^b* ■+■ %atb -h g* ;

tQDATIOnS DU PREMIER DEGRÉ À URB SEULE INCONRDE. 5l

donc enfin,

a' ■+■ ia’h 4- 3«’A’ — -i-

^ b [^rt‘ -h iab — a 4’) ’

expression qui peut se réduire à un polynôme (32).