PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ X URB SEULE IMCORRUE

effectuant les calculs,

réduisant,

xix — 576 -I- lax = 5o4 ; 3C.r = 5o4 -I- 576 = 1080 ;

.r = = 3o, et 48 — X = 48 — 3o=i8.

Ainsi l'ouvrier a travaillé pendant 3o jours et s’est reposé pendant 1 8 jours.

F' crijicatinn.

En effet, pour 3o jours de travail, il aurait dû recevoir a4 x 3o, ou 720 décimes; mais il s’est reposé 18 jours, pour lesquels on a dû lui retenir 12 X 18, ou 216 décimes. Or on a

On peut généraliser ce problème, en désignant par n le nombre total des jours tant de travail que d’oisiveté, par a la somme que l’ouvrier doit recevoir pour chaque jour de travail, par b la somme qu’on doit lui retenir pour chaque jour d’oisivelé, enfin par c le résultat du décompte. Soit toujours X le nombre de jours de travail ; n — x exprime alors le nombre de jours d’oisiveté ; donc ax et 6 (« — x)' désignent la somme que l’ouvrier doit recevoir et celle qu’on doit lui retenir. Ainsi on a, pour l’équation du problème.

et

donc par suite, ou réduisant.

«X — é(n — x) = c, ou nx — 4/j -t- 4>x = r, (a b]x — c bn \ e -H bn

rt-K* ’

c ■+■ bn nn bn — e — bn a + b a -h b

nn — e

Troisième problème. — Un r<- nard poursuivi par wi lévrier a Çio sauts d'avance. Il en fait g pendant ipie le lévrier n 'en fait iptc 6 ; mais 3 sauts du lévrier en valent 7 du renard. Combien le lévrier fera-t-il de sauts pour atteindre le renard?

11 est clair, d’après l’énoncé, que le chemin à parcourir par le lévrier se compose de 60 sauts d’avance du renard, plus du chemin que celui-ci parcourt à partir du moment où le lévrier se met à sa poursuite. Donc, si l’on pouvait trouver les expressions de ces deux chemins au moyen d’une môme inconnue, il serait facile de former l’équation du problème.

CHAI'ITRK 11.

Soit X lo nombre de sauts faits par le lévrier. Puisque le renard fait 9 sauts pendant que le lévrier en fait 6, il s’ensuit que le renard fait

|j ou ^ sauts, pendant que le lévrier en fait i, et, par conséquent, qu’il en

fait un nombre exprimé par pendant que le lévrier en fait un nombre

manpié par x. On pourrait croire que, pour obtenir ré(piation, il suffît

d’égaler .r à 6o -h - x ; mais, on agissant ainsi, on commettrait une erreur

manifeste; car les sauts du lévrier sont plus grands que ceux du renard, et l’on égalerait alors des nombres hétérogènes, c’est-à-dire des nombres rapportés à une unité difTérente. 11 faut donc, pour lever la difficulté, exprimer les sauts du renard en sauts du lévrier, ou réciproquement. Or, suivant l’énoncé, 3 sauts du lévrier valent 7 sauts du renard; donc un

saut du lévrier vaut ^ sauts du renard, et, |>ar conséquent, x sauts du

7 or

lévrier en valent — du renard.

Donc, enfin, on a l’équation

d’où l’on déduit, tout c^ilcul fait,

Ainsi, le lévrier fera 72 sauts pour atteindre le renard; pendant ce

temps, le renard en fera 72 x ou 108.

Vcrijicntion .

Les 72 sauts du lévrier valent — -y ou 1G8 sauts du renard, et l’on

a évidemment 1G8 = Go h- 108.

Les deux problèmes suivants méritent toute l’attention des élèves, en ce qu’ils offrent d’excellents exercices de calcul et de raisonnement.

48. Qt^ATRiÈME PROBLÈME. — Un pèrc qui a trois enfants ordonne par son testament que son bien soit partagé de la manière suivante : le premier doit avoir une somme a y plus la r/'"'* partie de ce qui reste; le second une somme 2 fl, plus la partie de ce qui reste après qtCon a

soustrait la i part et 2 a ; le troisième enfin doit avoir une somme 3 a, plus la partie de ce qui reste après qvüon a soustrait les deux prc~

PBOBLÈSES DU PBEXIEa DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE. 55

mièrcs parts et 3 a. Cela fait, le bien est entièrement partagé, — On ilcmande sa valeur.

Désignons par x le bien du père. Si, à l’aide de cette quantité, nous pouvions former les expressions algébriques des trois parts, nous rctran- ^ chorions leur somme du bien total x, et le reste, égalé à zéro, donnerait l’équation du problème. Tâchons donc de déterminer successivement ces trois parts.

Puisque x désigne le bien du père, a: — « est ce qui reste après qu’on a retranché a; ainsi l’on a, pour la part du premier enfant,

a -+- - — -1 ou, réduisant on fraction, f i™ part.

Pour former la seconde part, il faut retrancher de x cette première part et un, ce qui donne

an -t- X — a

X — un —

ou, réduisant les entiers en fraction et eiïectuant la soustraction indiquée,

nx — ’Zan — x -+- a

1 1*" reste.

Or la seconde part se compose de a a plus la partie de ce reste ; on a donc pour cette seconde part,

nx — 3an — x -h a art H ,

ou, réduisant l’entier en fraction,

art//* -+- nx — 3an — .r -4- a

> a* part.

Si l’on retranche de x les deux premières parts et 3 a, il vient

rt/î -f- X — rt uan^-hftx — 3rt// — x -f- //

X — 3rt 5

ou, réduisant au môme dénominateur et simplifiant,

/î*x — 6rtrt* — unx -i- ^an -i- X — a

) a* reste.

La troisième part est

„ //*x — 6rt//* — unx -+- Aon -h x — a

Sa H i ,

3a/é-i- léx — 6rt«* — unx -h ^an -+- x — a

3* j>art.

ou

CflAPITHB II

Or, d'après l’énoncé, le bien du père se trouve entièrement partagé. Donc, la différence entre x et la somme des trois parts doit être égale à téro ; ce qui donne l’équation

an X — a i an' nx — ’ian — x -t- a

"inn' -t- n'x — dan' — mx -i- l^an -H x — a

Effectuant toutes les opérations indiquées, on trouve enfin

dan' — io<7«’h- 5nn — a n(6n' — lort’-t- Sn — i) n' — 3n‘-+-3« — I “ n’— 3«’-i- 3« — i

On peut obtenir une équation et un résultat plus simples, d’après la remarque suivante : Dire que la part du troisième enfant se compose de 3n, plus la «■'"* partie de ce qui reste, et que le bien est alors entièrement partagé, c’est dire que le troisième enfant n'a que la somme 3o, et ([ue le reste dont on vient de parler est nul.

Or on a trouvé, pour l’expression de ce reste,

n'x — don' — anx -i- ian -f- x — a

r.e reste, égalé à zéro, donne, abstraction faite du dénominateur,

d’où

n'x — dan' — %nx -+- -r —a = o;

dan' — ian -k- a a[dn' — 4" + l) ~ /i’— a/i-ei n' — a«-+-i

Vérification.

Pour prouver Y identité numérique de cette expression avec la précédente, il suffirait de faire voir que la seconde provient de 1a première dans les doux termes de laquelle on aurait supprimé un facteur commun. Or, si l’on applique aux deux polynômes

n(6«* — lon’-i- — i) et «’ — 3/i’-(- 3n — i

le procédé du plus grand commun diviseur ( H ), on reconnaît que n — i est facteur commun, et en divisant les deux termes de la première expression par ce facteur commun, on retrouve la seconde.

Ce problème est propre à faire voir aux commençants l’importance qu’on doit attacher à saisir dans l’énoncé d’une question toutes les circonstances (]ui peuvent faciliter la formation de l’équation ; autn>ment on court le risque de parvenir à des résultats plus compliqués qu’ils ne devraient l'être.