PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE
Les conditions qui ont senû à former successivement les expressions des trois parts sont les conditions explicites du problème proposé ; et la condition qui a servi à déterminer l’équation la plus simple du problème est une condition implicite, qu’un peu d’attention a suffi pour faire reconnaître comme comprise dans l’énoncé.
Pour obtenir les valeurs des trois parts, il suffirait de mettre pour x sa valeur dans les expressions que l’on a obtenues ci-dessus.
.Appliquons à un exemple la formule
~ in -t- 1
Soit a = loooo, « = 5; il vient
ioooo{6 XiS — 4x5-i-i) loooox i3i i3ioooo „ „ , ~ a5 — lo -H I i6 i6
Vérifions l’énoncé sur cet exemple.
Le premier enfant doit avoir
lOOOO -I-
n reste donc 81 875 — 24 875 ou S7500, à partager entre les deux autres enfants.
Le second doit avoir
57 5oo — 20 000
20000 H — , ou 27500.
Il reste donc 57.600 — 27500, ou 3oooo, pour le troisième enfant. Or 3oooo est le triple do 10000; donc la solution est vérifiée.
On peut donner de ce môme problème une solution moins directe, mais plus simple et plus élégante. Elle est encore fondée .sur cette remarque, que quand on a soustrait 3 a dss deux premières parts, il ne doit rien rester.
Désignons |wr r, r', r' les trois restes dont il est question dans l'énona^ ; les expressions algébriques des trois parts sont
an — ) 2a -I , jan
Or, 1" d’après l’énoncé, on a évidemment r’= o.
Ainsi la troisième part est 3a.
2° Ce qui reste, lorsqu’on a donné au second enfant 2a ■+■ -, peut être
représenté par
CBàPITRE II.
r' , ou
D’ailleurs, ce reste forme aussi la troisième part ; ainsi l'on a
t — (1 ou r=
Donc, la part du second est
3rtn 3« • i-,. . ^nn -t- a
■xa -t : n = xii H ( ), ou simplifiant,
3° Ce qui reste, lors(]u’on a donné au premier « + exprimé |>ar r — ^ ou • D’ailleurs, ce reste doit représenter la somme des
deux autres parts. Ün a donc
(n — l)r art/i-+-« ian — xt
■ = 3rt - — — — =
d'où
han — xa n — i 5n»’ — xnn
Ainsi, la première part est
5(i«’ — xan
San — anr
San — xa an' -t-ian — n
On obtient donc enfin, pour le bien total,
2fl// -f- fl flrt’ H- 3 fl« — fl
fl' — a fl -H I
ou, prenant a*— afl -h i pour dénominateur commun,
3fl(fl’ — afl -+- 1) (aflfl H- fl)(« — j) -+- flfl*-H 3flfl — a fl’ — a fl I ’
(*) Lc8 deux points : cmployi^ ici marquent la dirision de par n
PHOBLÈMES DU PBEMIEK OEGBÊ A UKE SEULE IMCONBUE. 5g
puis, efTectuant les calculs et réduisant,
6nn’ — inn n n(6/i’ — 4
résultat obtenu ci-dessus.
Cotte solution est d’ailleurs plus complète que la précédente, puis^iue l’on a obtenu en même temps, et le bien du père, et les expressions des trois parts.
49. CiMQUlÈME PBOBLÉME. — Un père ordonne par son testament que l’aîné de scs enfants aura sur son bien une somme a, plus ta n“™ partie du reste ; que le second aura une somme a a, plus la /!""" partie tic ce qui restera après qu'on aura retranché la première part et lUi que te troisième aura une somme 3a, plus ta n'"“^ partie du nouceau reste; et ainsi de suite. On suppose d’ailleurs que tous les enfants soient également partagés. — On demande le bien du père, la part de chacun des enfants, et le nombre des enfants.
Ce problème a cela de remarquable, que son énoncé renferme plus de conditions qu’il n’en faut pour trouver les valeurs des inconnues.
Soit X le bien du père, x — a exprime ce qui reste après qu’on a prélevé la somme a. Ainsi la part de l'ainé est
an X — a
) r* part.
Retranchant do x cette première part et 2/7, on obtient
an -t- X — a nx — 3nn — x -h a
x — ia , ou ,
dont la partie est
nx — 3an — x -\- a
Ainsi la part du second enfant est
nx — 3n/î — X ->t- a ian‘ nx — 3an — x a
2a -I j ou , 2' part.
On pourrait former de la même manière les autres parts; mais puisque toutes les parts doivent être égales, il suffit, pour former l’équation du problème, d’égaler les deux premières parts, ce qui donne l’équation
an ■+- .r — a inn’ -e nx — 3an — 3an — .r -H u
(io
d'où l'on tire
CUàPITRB II.
Æ = an — lan -t- a.
Substituant cctto valeur de x dans l'expression de la première part, on tronve
an + an' — ann a — a
ou réduisant
nn‘ — an
= an — a = a(n — i);
«t comme toutes les parts doivent être égales, en divisant lo bien total par la première, on doit obtenir pour quotient le nombre des enfants ;
ainsi, — aff« -t- a ^ ou /» — i, désigne le nombre des enfants.
' an — a
Bien du père, an' — lan -t- a ou a [n — t)' -,
Part de l'alné et de chaque enfant, a[n — i);
Nombre total des enfants, n — i .
Il reste maintenant à savoir si les autres conditions du problème sont satisfaites ; c'est-à-dire si, lorsqu'on donne au second ua plus la n""" partie de ce qui reste, au troisième 3n plus la n‘”“ partie de ce qui reste,. . . , la part de chaque enfant est en effet a{n — i).
Or la différence entre le bien du père et la première part étant
la part du second doit être
n(n —i)' — nin — i) — la a«(n — i) -)- « (n — i — ain — i)
! ou — ' ' ' ' —
ou réduisant
n(n—\)-*-aln — il’ a(n — — il
! , ou bien —
OU bien enfin
Do même, la différence entre «(« — i)’ et les deux premières parts étant a{n — i)’— ia[n — i), la part du troisième doit être
a(n — i)’ — aa(a — i) — 3a
expression qui, étant réduite, devient encore évidemment
a (n — il -H a(a — il’ . • . , ,
— = ' ) et, par conséquent, a(n — i).
DES Êgt'ATIONS DU PBEIEIEH DEGRfi A PLUSIEURS INCOKSUES. 6l En général, on aurait, pour la part.
fX!
a{n — lY — {p — i)n(n — i) — pa
ou
ljg{n — ,t{n — lY — {p — i)a{n — \) n
OU
fl(/i — i) -4- n(« — i)’ , ,
— ' ' ^ — ~ ) ou bien « (n — i).
Donc, définitivement, toutes les conditions du problème sont remplies.
§ II. — DES ÉQUATIO.NS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A DEUX OU PtlSIEUnS INCONNUES.
SO. Quoique plusieurs questions résolues précédemment renfermassent dans leur énoncé plus d’une inconnue, nous sommes parvenus à leur résolution en employant un seul caractère. Cela tient à ce que, d’après les conditions de l’énoncé , nous pouvions facilement exprimer les autres inconnues au moyen de ce caractère ; mais il n’en est pas de même dans tous les problèmes où il y a plus d’une inconnue.
Pour savoir comment on doit s’y prendre pour résoudre ces sortes de problèmes, reprenons d’abord quelques-uns de ceux qui ont été déjà résolus à l'aide d'un seul caractère.
Tmm'cr deux nombres dont on connaît ta somme a et la différence b. — (C’est le problème n° 4.)
Désignons les deux nombres cherchés par x et r; on a, d'après l’énoncé, les deux équations
Or, en principe , si, à deux nombres égaux A et B, on ajoute respectivement deux autres nombres égaux C et D, les résultats A -i- C et B -h D sont égaux ; c’est-à-dire que, si l’on a les équations A = B et C = D, il en résulte A -i- C = B -i- D.
De même, si de deux nombres égaux on retranche deux autres nombres égaux, les restes sont encore égaux, c’est-à-dire que, des deux égalités A = B et C = D, on déduit encore A — C = B — D.
Appliquons ce principe aux deux équations du problème proposé.
On trouve, en les ajoutant
IX — a b.
62 CIIAPITIIE II.
et en retranchant la deuxième do la première
Chacune de ces è(iuations ne renfermant plus qu’une seule inconnue, on tire do la première,
et de la seconde,
En effet, on a
a -h b — b in ^ a -i- b a — b b
Soit encore repris le problème de l’ouvrier (47), en ne considérant que l’énoncé général.
Soient X le nombre de jours do travail, ot.)le nombre de jours d’oisiveté; ax et br expriment respectivement la somme (jue l’ouvrier doit recevoir pour les jours de travail, et celle qu’on doit lui retenir pour les jours d’oisiveté.
On a donc les deux é<piations
