Soient maintenant les deux équations
5jT-t-7/=43, 1 1 X -H 97- = 69,
qu’on peut regarder comme la traduction algébrique de l'énoncé d'un problème à deux inconnues.
Si, dans ces deux équations, l’une des inconnues était affectée du même coefficient, on pourrait, par une simple soustraction, former une nouvelle équation qui no contiendrait plus que l'autre inconnue, et de laquelle on tirerait la valeur de cette inconnue
Or si l’on multiplie les deux membres do la première équation par 9, coefficient dejdans la seconde, et les deux membres de la seconde par 7, coefficient de x dans la première, on obtient, par cotte double multiplioation,
équations qui i>euvent être substituées aux deux premières, et dans lesquelles r est affecté du même coefficient.
Retranchons donc la première de ces deux équations de la seconde, il vient
3ïx=96, d’où X = 3.
Pareillement, si l’on multiplie les deux membres de la première par 1 1 , coefficient de x dans la seconde, et les deux membres de la seconde par 5, coefficient de x dans la première, on forme les deux nouvelles équations
qui peuvent être substituées aux deux équations proposées, et dans lesquelles le coefficient de x est le même.
Retranchant donc la seconde de ces deux équations de la première, on trouve
3i/=ia8, d’où /=4-
Ainsi, X = 3 et / = 4 sont les deux valeurs de x et de / propres à vé-
64 CHAPITSE 11.
rifler l’énoncé de la question. En effet, l'on a
L’opération qui vient d’être exécutée, et au moyen de laquelle on obtient les valeurs des inconnues propres à satisfaire à des équations données, est connue sous le nom d'rliminntion, parce ([u’en effet elle consiste à cha.sser l’une dos inconnues par des transformations permises que l’on exécute sur les équations proposées.
La méthode précédente a beaucoup d’analogie avec la réduction des fractions au même dénominateur; aussi est-elle, comme cette dernière opération, susceptible de quelques simplifications.
Soient, pour nouvel exemple, les deux équations
8j — ai7'=33, 6x -I- 35.y = 177.
Pour rendre les deux coefficients de j égaux, remarquons que 21 et 35 ont un facteur commun 7 ; il suffit donc de multiplier la première équation par 5, et 1a seconde par 3 ; ce qui donne les deux nouvelles équations
4ox — io5 r = i65, i8x-i- io5v = 53i,
équations qui, ajoutées entre elles, donnent
58x = 696, d'où x = i2.
Pareillement, les deux coefficients de x renferment le facteur commun 2 ; ainsi, il suffit, pour rendre ces deux coefficients égaux, de multiplier la première par 3 et la seconde par 4 ; ce qui donne
Retranchant la première équation do la deuxième, on trouve
2o3ji' = 60g, d’où r = 3.
N. B. — Il est très- important do reconnaître si les coefficients ont dos facteurs communs, puisque, dans ce cas, on a des calculs plus simples à effectuer.
Soient, pour troisième exemple, les équations
4“t HX — 8 —
Iz
Il faut d’abord faire disparaître les dénominateurs d’après la règle (ié),
I — . -JSgitizecÜJïXIoo^l:
MÉTHODE d’élimination PAR ADDITION ET SOUSTRACTION. 65 et l'on obtient ainsi les deux équations
ou réduisant ou bien
8x — 48 -s- C)- H- i2x= gü — g.»'-t- 1, > — 3x -I- Il = I — lAx-i- 36,
aox -t- 1 5.1' = 145, gx-Hj = a5,
4x -I- 3j' = 29, gx -f- - a.5.
Multipliant par 3 la seconde équation, et retranchant du résultat la première, on trouve
a3x = 40; d'où x = a.
Mais on a d’ailleurs
jf=î5 — gx; donc >■ = 25 — g x 2 = 7.
oi. Considérons actuellement le cas de trois équations à trois inconnues.
Soient les équations
5x — 6 u-i-42=i5, 7x 4.*' — 3: = ig, 2 x -i- v 4- G; = 40.
Pour éliminer z entre les deux premières é(iualions, il faut multiplier la prt'mière |>ar 3 et la seconde par 4, puis ajouter les deux résultats (puisque les coefficients de z sont de signes contraires), ce qui donne jiour nouvelle équation
Multipliant la seconde équation [lar 2 (l’un des facteurs du coefficient de zdans la troisième), et ajoutant le résultat avec la troisième, on a
lOx -I- 9 j- = 84.
I.a question est donc ramenée à trouver d’abord les valeurs de xet de/, propres à satisfaire à ces nouvelles équations.
Or, si l’on multiplie la première par g, la second par 2, et qu’on ajoute les deux résultats, on trouve
4igx=i257; d'où l'on tire x = 3.
On pourrait, à l’aide des doux équations en x et déterminer .> comme on a déterminé x; maison parvient plus simplement à la valeur de), en observant que la dernière de ces équations devient, lorsqu'on y met pour x sa v'aleur,
