t- gj‘= 84, d’où l'on tire v

Do même, la première des trois équations proposées devient, lorstpi on

ClIAriTRE II.

y rpmplao; x cl .) par leurs valeurs,

i5 — 24 4 2 = i5, d'où î = -î^ = 6.

En gi'^néral, soit un nombre m d'équalions à |>areil nombre d'inconnues. Pour trouver les valeurs des inconnues, combinez successiccmcnt une queleo/if/iie fies éi/itulions avec eluicune tles {ni — 1) mit res, de manière a éliminer la mrme Incomiiu’. f'oiis obtenez ainsi (m — 1 ) nnueeUcs équations renfermant [m — 1) inconnues, sur lesquelles xhuis opérez eomme sur les équations pro/msées; r'est-n-dirc que vous éliminez une nouvelle inconnue en eombinant rime de ces nouvelles équations avec les {ni — 2 ) autres, ce qui donne {m — 2) équations renfermant ( w — 2) inconnues. Continuez cette suite d'iqu-rations jusqu’à ce qu'cnpn vous /larveniez à une seule équation qui ne renferme plus qu’une inconnue, et de laquelle vous tirerez facilement la valeur de eette inconnue. A pris quoi, remontant de proche en proche jusqu’à l’une des équations pro/msées, 7>oiis déterminez successivement les valeurs des autres inconnues.

53. La méthode d'élimination que nous venons d’exposer est connue sous le nom de méthode />nr addition et par soustraction, parce qu'en effet on parvient à chasser les inconnues [xir des additions et soustractions, après avoir toutefois préparé les équations de manière qu’une inconnue soit affectée du même coefficient dans toutes les deux.

Il existe encore deux autres méthodes principales d’élimination. La première, ap|)cléc métluHle par substitution, consisU" à tirer de l’une des équations la valeur d’une inconnue, comme si les autres étaient déjà déterminées, et à substituer celte valeur dans les autres équations, ce qui donne lieu à de nouvelles équations qui renferment une inconnue de moins, et sur lesquelles on Ojière comme sur les équations proposées.

La seconde, ap|)elée méthode par comparaison, consiste à tirer les valeurs d'une môme inconnue, de toutes les équations, et à égaler ces valeurs deux à deux; ce qui donne nécessairement lieu à de nouvelles équations renfermant une inconnue de moins, sur lesquelles on opère comme sur les équations proposées.

Mais ces deux méthodes ont un inconvénient que n’offre pas 1a méthode par addition et soustraction, c’est de donner lieu à de nouvelles équations renfermant des dénominateurs qu’il faut ensuite faire disparaître. On emploie toutefois avec avantage la méthode par substitution, toutes les fois que l’une des inconnues a un coefficient égal à l'unité dans l'une des équations, parce qu’alors l’inconvénient dont nous venons de parler n’a plus lieu. Nous aurons quelquefois occasion de l'employer. Mais, en général, la méthode par addition et soustraction est préférable; elle présente d’ail-

AUTRES MÉTHODES d’ÉLIMINATION. 67

leurs cet autre avantage, que, si les coeCBcienls ne sont pas trop grands, on peut faire l'addition ou la soustraction en même temps que la multiplication qui tend à rendre les coefficients égaux.

54. Il arrive souvent que les équations proposées ne renferment i»as toutes les inconnues à la fois. Dans ce cas, avec un peu d’adresse, l’élimination se fait très-promptement.

Soient les quatre équations à quatre inconnues :

ax — 3j -+- az = i3.

4 H — ax= 3o,

4j-h az = i4.

En jetant les yeux sur ces équations, on voit que l’élimination de z entre les équations (1) et (3) donnera une équation en jret^ ;et si l’on élimine u entre les équations (») et ( 4), on obtiendra une seconde équation entre ,r et y; ces deux dernières inconnues peuvent donc être déterminées aisément. D'abord, l’élimination do z entre (i) et (3) donne

7^--ax = i;

celle de u entre (a) et (4) donne

ao r -t- 6x = 38.

Multiplions la première de ces deux équations par 3, et ajoutons; il vient

4ir=4>, d’où r=i.

Substituant cette valeur dans 7/ — ax = i, on trouve x-Z.

Reportons la valeur de xdans l’équation (a); il en résulte 4« — 6 = 3o, d’où « = 9.

Enfin, la substitution de la valeur de v dans l’équation (3) donne z = 5.

Nous proposons pour exercice les cinq équations suivantes :

7x — az -I- 3h = 17,

4/— az -I- r = II,

— 3x — au = 8,

68 CMVIMTBK II.

qui donnent, pour les valeurs des inconnues,

an. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé le nombre des éiquations é^al nu nombre des caractères employés pour dési^mer les inconnues. Il doit en être ainsi de tout problème à plusieurs inconnues, pour qu'il soit tUHermhw, c’est-à-dire ]iour qu'il n'admette pas une infinité de .solutions.

Kn effet, sup[Kisons, par exemple, qu’un problème à deux inconnues x,r conduise à l'équation unique â.r— 3/= la; on en déduit

Or, si l'on fait successivement

il en résulte

, i8 ai a4 ay

et tous les systèmes de valeurs

mis pour x et / dans l'équation, y satisfont également.

Si l’on avait deux équations à trois inconnues, on pourrait d'abord éliminer l’une des inconnues à l’aide des équations jiroposées, et l’on parviendrait ainsi à une équation (|ui, renfermant deux inconnues, pourrait être satisfaite par une infinité do systèmes do valeurs prises pour ces inconnues; d'où l’on déduirait également une infinité de valeurs pour la troisième inconnue. Donc, en général, pour qu’un problème soit détcrmiiw, il faut que son énoncé renferme un nombre do conditions différentes, au moins égal à celui des inconnues, et que ces conditions puissent être exprimées chacune jiar une équation. Au reste, nous reviendrons plus loin sur les questions qui donnent lieu à un nombre d’équations essentiellement lUffércntcs, moindre que celui des inconnues.

5G. Passons à la résolution do nouveaux problèmes à deux ou un plus grand nombre d’inconnues.

Sixième problème. — Une personne possède un capital de 3oooo francs qu’elle fait valoir à un certain interet; mais elle doit une somme de aoooo francs dont elle paye un certain intérêt différent du premier : l’intérêt qu'elle retire surpasse relui qu’elle paye de 8oo francs. Une seconde personne /jossede 35 ooo francs qu'elle fait l'aloir au second taux

problëhes dc prehier degrë a plusieurs incomsues. 69

fl’intérrt; iiiiiis elle doit une somntr de î4 000 francs dont cite pare /'interet (/'après /c premier taux; /'intérêt tju'c//e retire surpasse cr/iii qii’id/e paye de 3io francs. — On demande /es deux taux d'intérêt.

.Soiution. — Soient x et j les deux taux d’intérêt (lour 100 francs. Pour obtenir l'intérêt de 3oooo francs au taux désigné par x, il faut établir la pro|K)rtion

1 00 ; X . ; 3o 000 ; ou3oox.

On obtiendra de même, pour l'intérêt do 20000 francs, au taux désigné par.i, ou 200). Mais, d'apres l'énoncé, l'excès du prender intérêt

sur le second est égal à 800 francs. On a donc pour première équation du problème

3oox — 2oo)' = 800.

Fn traduisant algébriipiement la seconde condition du problème, on parviendrait à la nouvelle équation

35or — 240 X = 3 10.

Maintenant, les deux membres dc la première équation étant divisibles par 100, et ceux de la seconde jiar 10, on peut remplacer les deux équations par celles-ci :

Pour éliminer x, mult^iplions la première ét|uation par 8, et ajoutons; il vient

•9.’' = 95> d'où y = 5.

HemplaçanI .V |iar sa valeur dans la première équation, on trouve 3x — 10 = 8, d'où X = 6.

Ainsi, le premier taux est G pour 100, et le second 5.

En elTet, 3oooo francs placés à 6 pour 100 donnent

3oo X G ou 1 800 fr,,

3oooo francs placés à 5 pour 100 donnent

200 x 5 ou 1000 fr.,

et l’on a

On vérifierait de même la seconde condition.

f>7. Voici les énoncés do nouveaux problèmes à une et à plusieurs inconnues, sur lesiiuels nous engageons les commençants à s'exercer.