THÉORIE DES QUANTITÉS NÉGATIVES
58. L’emploi des signes algébriques pour résoudre les problèmes donne souvent lieu à des circonstances singulières qui embarrassent au premier abord ; mais, en y rénéchissant, on parvient à les expliquer, et môme à en tirer parti pour généraliser encore davantage la langue algébriijuc.
Proposons-nous cette première question : Trouver un nombre qui y ajouté au nombre by donne pour somme le nombre a.
Solution. — Soitx le nombre cherché; on a évidemment, pour équation,
b ->r X ~ Uy d’oii X — a — b.
Cette expression ou formule donnera la valeur de x dans tous les cas particuliers du problème proposé.
Soit, par exemple, « = 47» ^ = 29; il vient x = 47 — 29 = 18.
Soit encore « = 24, ^ = 3i ; il vient x~ i \ — 3i.
.Comme 3i est égal à 24 -h 7, cette expression de x peut se mettre sous la forme .r = 24 — '^4 — 7, ou réduisant, x = — 7. Cette valeur obtenue pour X est ce qu’on appelle une solution négative. Mais comment l’interpréter.
En remontant à l’énoncé du problème, on voit qu’il est impossible que 3i augmenté d’un autre nombre donne pour somme 24, nombre plus petit que 3i. .\insi, aucun nombre ne peut vérifier l’énoncé dans ce cas particulier. Cependant si, dans l’équation du problème, 3i -h x = 24, on met à la place du terme -4- x la valeur négative — 7, il vient 3i — 7 = 24, équation exacte qui veut dire que le nombre 3i diminué de 7 donne pour diflérence 24.
La solution négative y x — — 7, indique donc l’impossibilité de satisfaire à l’énoncé du problème dans le sens où il a été établi ; mais on considérant cette solution indépendamment de son signe, c’est-à-dire supposant X = 7, on voit qu’elle satisfait à l’énoncé modifié ainsi ; Trouver un nombre qui y retranché de 3i, donne pour différence 24, énoncé qui diffère du premier, Trouver un nombre qui y ajouté à 3i, donne pour somme 24, en ce point seulement que le mot ajouter se trouve remplacé par le mot retranclwry et le mot somme par le mot différence.
CnAPITIlK II.
Si l'on veut rfeouriri' la nouvpllc question directement, il n'y a qu'à poser ré>]uation
3i — .j=a4> d'où 3i — a.{ = a:, ou ■r = y.
Soit encore proposé ce prolrléme : Un }>èrr a un nnmhrc n d'onnees ; snn fds rn a un ntnulirr h. — On drmamtc dans roinlnrn d'années l'âge du Jih sera te qunri de relui du père.
Suint ion.
I)>’‘si);nons par x le nondire d'années cherché -, a + x ci b x expriment ■es|H’cti\ ement les âges du i>ère et du fils au bout de ce nombre d'années ; ainsi l'on a l'éipiation
d'oi'i
Supjajsons a = 54. /' = 9 1 d vient
Imi cffcl, le péro ayant acluellement .54 ans et le fds 9, dans 6 ans le pore aura (io ans et son fils 1 5 ; or 1 5 est égal au quart de Go ; donc j- = G satisfait à l'énoncé.
Actuellement, supposons n= 45, i = i5; il vient 45 — 60
On réduit cette expression à x — 5, en elTcctuant autant que possible la soustraction indi(piée [tar 45 — (!o, ce qui donne — 1 5, et divisant — 1 5 par 3, d'après la règle éuddie (2.") pour la division algébrique. Mais comment interpréter la solution nrgatice.r = — 5?
Kemontons à l'équation du problème, qui, dans le cas particulier que
nous considérons, est 1 5 -t- x =
Klle renferme une contradiction
manifeste; car le second membre revient à et chacune do ces
deux parties est plus iietite (lue chacune des deux parties du premier membre. Mais si l’on remplace dans l'équation, x -f- par — 5, il vient
OU
