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équation exacte qui veut dire que si, au lieu d'ajouter un certain nombre d'années aux deux âges, on en retranche 5 ans, l'âge du fds sera le quart

TUÊOBIK DES QUAMI1ÊS NÉGATIVES. 7 3

(le celui du père. Ainsi, la solution que l’on vient de trouver, étant consi dértk* indépendamment de son signe , satisfait à ce nouvel énoncé : Un père « 45 ans, ann fils en n i5. — On rleninndc à quelle èjmquc l’âge du Jih n rlé le quart de eelui du père.

L’équation de ce nouvel énoncé serait

d'où l’on tirerait Co — 4-v = 4é — x, et x = 5.

On voit en elTct, pour jieu qu’on réllécliisse sur l’énoncé du problème, que le rapf)orl de l'égo du fils ù adui du père étant actuellement

ou l’égc du fils ne [icut plus devenir le quart de celui du père; mais il

l’a été précédemment, parce que, comme on l’a prouvé (G) d'une manière générale, si l’on ajoute aux deux termes d'une fraction un mémo nombre, la fraction augmente toujours de valeur. Au contraire, elle diminue de valeur quand on retranche un même nombre de chacun de ses deux termes.

.GO. En nous laissant conduire par l’analogie, nous pouvons établir ce principe général :

1° Toute t'aleur nègatiee trouvée /xmr l’inconnue d’un problème nu premier degré indique un vice dans le Sens des conditions de renoncé, ou, du moins, dans l'équation qui en est la traduction algébrique. (f~oyez la remarque du n" GO.)

Celle l’aleur, nbstraelion faite de son signe, peut cire regardée comme la ré/xmse à un problème dont l’énoncé ne diffère de celui du problème proposé qu'en ce que certaines quantités, d'additiees qu'elles étaient, sont deeenues soustractives , et réciproquement.

Démonstration. — I.a première partie de ce principe est facile à démontrer. En effet, si l’on trouve pour x une valeur négative, cela provient nécessairement de co que, par la nature môme do l’équation établie, on a été conduit à soustraire un nombre plus grand d’un nombre plus petit, o/ération inexécutable. C’est ainsi que les valeurs x = — 7, x = 5 sont provenues ( ,08) des équations

Or si aucun nombre absolu (*) mis pour x ne |x!ut vérifier l’équation à

(*) Ou appvtto nombre absolu tout nombre considéré indépendamment du signe de l'atidilion on de la soustraction.

CaAPlTEB II.

laquelle on est parvenu en exécutant sur celle du problème les transformations indiquées (43, -il), il faut ()uo cette première é(]uation ne puisse elle-même être vérifiée dans le sems où elle a été formée; car l’exactitude de ces transformations est bien constatée pour toute équation susceptible d'étro vérifiée par un nombre absolu qu'on y mettrait jK)ur l'inconnue.

Souvent l'im|K)Ssibililé de résoudre la question ou l'équation , dans le sens où elle a été établie, est évidente à la seule inspection, soit de(l'énoncé, soit de l'équation ; les deux problèmes précédents en sont des exemples. D’autres fois, cette impossibilité est difficile à découvrir; mais la suite des calculs finit toujours par la mettre dans tout son jour.

Passons ù la seconde jiartie du principe.

Observons d'abord que si, dans l’éiiualion, l’on remplace x par — j:, tous les termes renfermant x, s’ils sont additifs, deviendront soustractife, et réciproquement ; car si l'on a, par exemple, le terme -t- «x, en mettant — X à la place de x, il deviendra -t-a x — x, ou — ox. De môme, si l'on si l'on a le terme — bx, il deviendra — b x — x, ou h- bx. .\insi, en traduisant en langage ordinaire la nouvelle équation, on aura nécessairement un nouvel énoncé qui ne différera du premier ([u'en ce que certaines quantités, d'additives qu'elles étaient, seront devenues soustractives, et réciproquement.

Il reste à faire voir maintenant que la substitution de — x à la jilace do X dans l’é-quation donne lieu au résultat x = /;, si l’on avait d'abord obtenu x = — p (/> est ici regardé comme un nombre absolu).

Or, quelle que soit l’é()uation primitive du problème, on peut toujours, par des transformations connues, la Supposer ramonée à la forme « x = — b (a et b étant des nombres absolus).

De celte équation, l’on tire

— ou x = — -, ou bien enfin x = — p,

P exprimant le nombre absolu Mais si l'on met — x à la place de x

dans l’équation primitive, on parviendra, en opérant sur la nouvelle équation comme sur la première, à l’équation

— ax = — b\ d'où x = — -1 ou X = ou enfin x =z p.

(*) I/cnoncé du principe précédent et une partie de la démonstration sont extraits de l’ouvrage intitulé : Rc/Uxiotn sur la métaphysique du Calcul infinitésimal, 4* édition, par CxANor. (Paris, Gauthicr-Villars ; 1860. Prix : 4 ff*)

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THftORIE DES QUANTITÉS NÉGATITES. ^5

On voit, par ce qui précède, de quelle manière on doit interpréter les solutions négatives. Elles peuvent être regardées, abstraction faite de leur signe, comme des réponses, non aux questions telles qu’elles ont été établies, mais à des questions do même nature, dont certaines conditions ont été modiQées ; et, pour obtenir le nouvel énoncé, le moyen le plus silr est de remonter à V équation du problème, d’y changer x en — .r, puis de traduire en langage ordinaire la nouvelle équation. [Foyez le n° 71 pour la démonstration du même principe , dans les équations du premier degré à plusieurs inconnues.)

60. Remarque. — Le principe qu’on vient d’établir n’est rigoureusement vrai que pour les équations, et il ne l'est pas toujours [MDur les énoncés des problèmes, c’est-à-dire que tel problème peut avoir un énoncé exact, lors même qu’en résolvant l’équation établie on parvient à une valeur négative. Cela tient à ce que l'algébriste, dans l'application de ses méthodes à la résolution d’un problème, prend souvent certaines conditions dans un sens opposé à celui où elles devraient être prises; et, dans ce cas, la solution négative qu’il obtient redre.sse le point de vue sous lequel il a envisagé ces conditions, .àinsi, l’é(|uation est vicieuse, quoique le problème soit susceptible d’être résolu ; et ce n'est que lorsque l'équation est la traduction fidèle de l'énoncé et du sens de toutes scs conditions, <iue le principe est applicable aux énoncés. Nous en verrons des exemples [lar la suite; mais c'est principalement dans les applications de l’.àlgèbre aux questions de la Géométrie que le principe est applicable aux équations plus qu'aux énoncés eux-mêmes.

Au reste, pour j)eu qu’on réHécbisse sur la démonstration qui en a été donnée, on verra que les raisonnements portent plutôt sur les éfjuations que sur les énoncés dont ces éfiuations sont regardées comme la traduction algébrique.

61. Dans la démonstration précédente, on a été conduit à multiplier -t- a par — .r, à diviser — b par -t- n, — b par — n; et l'on est parvenu aux résultats en appliquant aux monômes les règles des .signes établies pour la multiplication et la division des polynômes. Il peut paraître, au premier abord, néces.saire de démontrer ces règles par rapport aux monômes isolés; et c'est en cfTet ce que font presque tous les auteurs. Mais les démonstrations qu’ils en donnent n’ont que l’apiairence de l'exactitude, ou laissent beaucoup de vague dans l’esprit. Nous dirons donc que l’on a étendu aux quantités monômes les règles des signes établies et démontrées pour les polynômes , afin de donner une interprétation aux résultats singuliers que fournit l’Algèbre. En n’ admettant point celte extension, on se priverait d’un des principaux avantages de bt langue