CHAPITRE II

ol^éhriquc y lequel consiste à embrasser flans luic seule et meme formule les solutions rie plusieurs questions de meme nature y mais dont les énoncés diffèrent par le sens de certaines conditionSy c*est-à-dire en ce que certaines quantités sont additives dans les uns et soustractives dans les autres y et réciproquement ,

L’extension aux quantités monômes, des règles établies pourjes polynômes, peut toutefois être motivée par les considérations suivantes :

La démonstration exposée (17), pour la multiplication d’un binôme a — b par un binôme e — r/, suppose évidemment « > ô et c > d. Si le contraire a lieu, ces raisonnements n’offrent plus à l’esprit aucun sens rigoureux; et cependant la règle des signes une fois établie, on ne songe pas à la révocjuer en doute, quels que soient les rap[)orls de grandeur de

Cela pose, le produit de /r — ô par c étant ac — bc^ il s’ensuit que le produit d'une expression négative a — b [a étant > ô) par une quantité jmsitive c est néf;atif.

De môme, le produit de b par e — d étant bc — bd^ il en résulte que le produit trune quantité /tositivc b par une expression néf^atice c — d (r étant < d) est négatif.

Enfin, le produit de a — b par c — d étant, comme on l’a dit,

ac — bc — ad -f- bdy

expression qui peut se mettre sous la forme

bd — atl — bc ac, ou d [b — a) — c [b — a),

si l’on suppose d > r, et b > a ou b — a positif, il en résulte néce^ssairement

d[b — a)'p^ c[b — a), et par conséquent tl{b — a) — c[b ~ a)

|)Ositif. Donc le produit (ïune expression négative a — b par une expression négative c — d éUmt <| ô et r < d) est positif.

C’est d’ailleurs là ce qui constitue l’un des caractères distinctifs de l’Algèbre. En Arithmétique comme en Géométrie, les raisonnements portent toujours sur des êtres réels que l’esprit peut saisir, tandis qu’en Algèbre on raisonne et l’on opère le plus souvent sur des ôtres imaginai rcs, ou sur des symboles présentant des opérations inexécutables; mais l’exaclitude des résultats (|u’on obtient par ce moyen, et auxquels on parviendrait également par des procédés plus rigoureux, mais beaucoup plus longs, justifie suffisamment la marche qu’on a suivie.

C2. Comme les règles des signes, relatives aux monômes, sont d’un usage