CHAPITRE II

3i X = a4i I* résultat x = — 7 indique qu’il faut ajouter — 7 à 3i pour obtenir a4 ; et en effet, 3i — 7), ou 3i — 7, est égal à 24.

Pareillement, dans l'équation i5 -i- x =

le résultat x = — 5

indique qu’il faut ajouter — 5 aux deux âges, pour que l’âgo du fils soit le quart de celui du père. En effet, on a

i5 + ( — 5) ou i5 — 5 = 10, 45 4- ( — 5^ ou 45 — 5 = 4o-

63. La nécessité d’employer les expressions négatives dans les calculs algébriques, et de les soumettre aux mémos opérations que les quantités absolues, a conduit les algébristes à deux autres propositions qui seront par la suite d'un usage très-fréquent. En voici l'énoncé : Toute rjuuntUê négatii'e — a est plus petite que o ; et de deux qiinulilés négatives, lu plus jsetite est celle dont lu valeur absolue est la plus grande.

Ainsi, a étant numériquement plus grand que b, on a

— rt < O et — O < — b.

Pour nous rendre compte de ces deux propositions, observons qu'en général, si d’un même nombre on retranche une suite de nombres de plus en plus grands, les restes doivent être do plus en plus petits. Cela posé, prenons au hasard un nombre entier, 6 [«r e.xemple, et de ce nombre retranchons successivement i, 2, 3, 4, 5, G, 7, 8, 9,...; on trouve, en écrivant les différences sur une même ligne.

6 — 1, 6—2, 6 — 3, 6 — 4i — 5, 6 — 6, 6 — 7, 6 — 8, 6 — 9, — , ou réduisant,

D’où l’on voit que — i doit être regardé comme plus [letit que o, puisque celui-ci exprime l'excès de 6 sur lui-même, tandis que — 1 exprime l'excès de 6 sur un nombre plus grand.

Par la même raison, — i est plus grand que -2,-3 est plus grand que — 4, quoique les valeurs numériques des premières expressions soient moindres que celles des dernières.

Autrement. — Dès que, pour interpréter tous les résultats singuliers que fournit la résolution algébrique d'une question, l'on est convenu de considérer les expressions négatives comme des quantités, il faut qu’en les soumettant aux mêmes opérations que les nombres absolus, on puisse parvenir à des résultats exacts. Or on peut regarder comme un axiome, que, si un nombre a est plus grand qu’un autre b, et que l’on ajoute à

JOjgiligoa hy

DISCUSSION DES FROBLÈHES DU PREHIEB DEGRS. ‘J9

chacun un même nombre rf, le premier résultat, a -t- tl, est plus grand que le second, b -t- d.

Cela posé, en admettant les inégalités o > — n, et — a > — (a -h m) (rt et m sont ici des nombres absolus), si l’on ajoute aux deux membres de chacune d'elles a + m, on trouve

n + ni'^ m et ni > o, ce qui est exact. .\u contraire, si l’on posait

o< — Il et — rt < — (n-t-ni),

il en résulterait

« -t- /« < III et III < o,

ce qui serait absurde.

En général, on doit admettre les deux propositions précédentes si l’on veut pouvoir opérer sur tes cx/jressioiis négatives comme sur les quantités absolues. Ces propositions sont, au reste, une espèce de Inciiiiim algébrique analogue à celles dont nous nous servons souvent dans le langage ordinaire. Nous disons tous les jours : Telle personne n moins que rien, pour exprimer qu’elle doit plus qu’elle ne possède; et de deux personnes qui, ayant la même fortune, doivent plus qu’elles ne possèdent ; La plus riche est celle qui doit le moins.

Discussion des problèmes du premier degré à deux ou plusieurs inconnues.

64. Lorsqu’on a résolu un problème généralement, c’est-à-dire en représentant les données par des lettres, on peut se proposer de déterminer ce que deviennent les valeurs des inconnues, pour des hypothèses particulières faites sur les données. La détermination de ces dilTérentcs valeurs, et l’interprétation des résultats singuliers auxquels on parvient, forment ce qu’on appelle la discussion du problème.

Voici une question dont la discussion offre à peu près toutes les circonstances qui se rencontrent dans les problèmes du premier degré :

Treizièiie problème. — Deux courriers partent en même temps de deux points dijférents A et B, d’une même ligne AR, et se dirigent dans le même sens AB. Le courrier qui part du point A fait m kilomètres par heure, et le courrier qui part du point B en fait n. — On demande à quelles distances des points K et h les deux courriers se rencontreront.

CHAFITHE II.

Solution. — Soit R le point de rencontre; appelons x et 7 les dislances inconnues AU et BR, exprimas en Lilomètres, et « la distance AU qui sépare les deux courriers au moment de leur départ. On a é\idemmont, pour première équation,

(I) .r-7=rt.

Mais III et 11 exprimant les nomlires de kilomètres faits par heure (ce sont les vite.f.\es rcspi'ctives des deux courriers), il s'ensuit que tes temps

employés pour parcourir les espaces .r et. r sont marqués par et

d'ailleurs, ces deux temps sont égaux. Ainsi, l'on a, pour seconde équation du (iroblème,