OT

d'où n

il en résulte

am

’iooooa,

an

En un mot, tant que la dilTérence des deux vitesses n’est pas nulle, le.s deux courriers se rencontrent; mais les distances du point de rencontre aux deux points do départ deviennent de plus en plus grandes à mesure que cette différence diminue. Donc, si l'on sup/mse cette différence moindre

qu'aucune erandeur donnée, les distances — 1 — — — sont plus ' ° ni — n ni — «

grandes qu'aucune quantité donnée, OU infinies. On dit alors, pour abréger, que si m — n = o, les valeurs qui en résultent.

ani an

sont infinies.

Comme o est moindre quo toute grandeur absolue, il s’ensuit que l'on peut prendre ce caractère pour désigner le dernier état d’une grandeur qui peut décroître autant que l’on veut. De même, comme un nombre fractionnaire est d'autant plus grand quo son numérateur est plus grand par rapport à son dénominateur, il s’ensuit qu’une expression telle ([ue

^ ( A étant un nombre absolu quelconque) est très-propre à exprimer une

quantité infinie, c’est-à-dire une quantité plus grande qu’aucune quantité assignable.

L'infini s’exprime encore par un luàt couché ao ; et, par conséquent, uno quantité moindre qu'aucune grandeur donnée, ou o, peut aussi s’ex- A

primer par — ; car une fraction est d’autant plus petite que son dénominateur est plus grand par rapport à son numérateur. Ainsi o et ^ sont

des symboles synonymes; il en est do même de ^ et 00 •

Nous avons insisté sur ces dernières notions, parce qu'il y a des questions d’une nature telle, que Vinfini peut être regardé comme une véritable réponse à l’énoncé. On en voit des exemples fréquents dans Yapplication de l'rllgèbre aux questions de Géométrie.

DISCUSSION DES PBOBLÈaES DU FEBMIER DEGRÉ. 83

En résumant ce que nous venons de dire, dans le cas de m = n, on voit qu’il n’y a pas, à proprement parler, do solution du problème, en nombres finis et Héterminês ; mais on trouve des valeurs inCnies pour les inconnues.

Si, à l’hypothèse m = ri, on ajoute celle-ci, « = o, les deux valeurs deviennent

Quel sens doitron attacher à ce nouveau résultat?

Reprenons l'énoncé et observons que, si les deux courriers partent du même point et vont également vite, ils doivent être toujours ensemble, et, par conséquent, se rencontrer en tous les points de la ligne qu’ils parcourent. Et, en effet, les é<iuations deviennent, dans la double hypothèse de m = n, a = O,

X — r—0, — = O, ou X — Y — O, X — r=o,

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équations qui rentrent l’uno dans l’autre. Ainsi la question est tout à fait indéterminée (85), puisqu’on n’a réellement qu’une é<{uation entre deux inconnues.

L’expression ^ est donc, dans ce cas, le symbole <l’ une inrlétenninetion élans l’énoncé.

Si les deux courriers ne vont pas également vite, c’est-à-dire que l’on ait m > ou < n, mais qu’on suppose a = o, on trouve pour valeurs x = o,y=o.

En effet, les courriers, partant du même point, et ayant des vitesses différentes, ne peuvent évidemment se trouver ensemble qu’au point de leur départ.

Les hypothèses précédentes sont les seules qui conduisent à des résultats remarquables. Elles suffisent d’ailleurs pour faire voir aux commençants do quelle manière l’Algèbre répond à toutes les circonstances de l’énoncé d’un problème.

Nous généraliserons bientôt 1a discussion précédente; mais auparavant nous ferons une remarque de la plus grande importance dans les applications algébriques.

65. Lorsqu’un problème a été résolu généralement, on peut, au moyrn des formules ou valeurs trouvées pour les inconnues , obtenir ynr de simples changements ele signe, celles qui conviennent à do nouveaux problèmes généraux dont les énoncés ne diffèrent de celui du problème pro-