CHAPITRE II

poséque par le sens do certaines quantités qui, d'additives qu’elles étaient, sont devenues soustractives, et réciproquement.

Prenons pour exemple le problème de l’ouvrier, résolu (47). En suppo* sant que l'ouvrier reçoive pour son décompte une somme c, on a les équations

An -I- r an — c x-t-y=n, ax—by = c, d’où ^ ^ a b'

Mais si l’on suppose au contraire que, tout décompte fait, l’ouvrier, au lieu de recevoir, doive une somme c, les équations seront alors

X A- y = n, by — ax = c, ou x y = n, ax by =: c

(on a changé les signes do la seconde équation).

Or il est visible que, sans résoudre de nouveau ces équations, on peut obtenir sur-le-c.hamp les valeurs de j et de j qui leur correspondent, en changeant simplement le signe de c dans les valeurs précédentes, ce qui donne

6// — c rt/ï -+- r

‘ Afin do le prouver rigoureusement, désignons, pour le moment, — r par il-, les équations deviennent alors

X ax — by = d,

équations qui ne dillêrcnt de celles du premier énoncé qu’en ce que c est changé en d. Ainsi l’on trouvera nécessairement

bn -k- d an — d

Actuellement, si l’on remplace rf par sa valeur — c, il vient

é/n-(— c) fl/i — (— c).

it a à *

ou bien, en appliquant les règles établies (C2),

an — c an c a-hb ’ a-t-c

On peut comprendre sous les mômes formules les résultats qui conviennent aux deux énoncés, en écrivant

bn ± c „ T Ç a -H i ’ ^ ~ a-\-b

DISCUSSION DSS PBOBLfelES DU PBBIilER DEUBÉ. 85

(Le double signe ± s'énonce plus ou moins; les signes supérieurs correspondent au cas où l'ouvrier reçoit la somme c, et les signes inférieurs à celui où l'ouvrier la doit. )

Ces formules embrassent encore le cas où, tout décompte fait, l'ouvrier et la (jersonne qui l'emploie sont quittes l'un envers l'autre. Il suffit de supposer c = O, ce qui donne

bn an

X = Tl y = T-

Soient encore les deux équations générales

ax-\-bx=c, dx-^fy=g,

provenant de la traduction algébrique d’un problème quelconque. En multipliant la première équation par /, la seconde par b, et soustrayant la seconde de la première, on a

{af—bd)x=zc/—bg, d'où x -

On trouverait de même

ag — al ^ af— bd

Cela posé, pour passer de ces formules :

1° A celles qui conviennent aux équations

ax — by = c, dx-^fy = g,

il suffit de changer b en — b, ce qui donne

cf -t-bg ag — al

a° Aux formules relatives aux équations

ax — by=zc, dx—fy=g,

1 suffit de changer è en — è et/en — /, ce qui donne les formules

— af-\-b<l bd — af' •' bit — af

La démonstration serait absolument la même que celle de l'exemple précédent; nous pouvons donc la passer sous silence.