CHAPITRE II

vent être remplacées par les équations (i) el (3). Or celte dernière donne pour J une valeur unique, qui, substituée dans l’équation (i), ne peut donner qu’une seule valeur pour j. Donc les équations proposées ne sauraient admettre qu’un seul système de ^^leu^s pour les deux inconnues.

La valeur de y peut d’ailleurs s’obtenir directement par l’élimination de X. 11 suffit pour cela de multiplier la première équation par a', la seconde par <7, puis do retrancher le premier résultat du second (afin de conserver pour^ le même dénominateur que pour x). Il vient

(nb'—ba')y-ac'—ca'; d’où

Passons maintenant au cas de trois équations à trois incounucs.

Soient les équations

ax -H by -h cz = d.

a'x + b’ y + f'i = rf'

Pour éliminer z, multiplions la première équation par c', la seconde par e, et retranchons le second résultat du premier ; il vient ainsi

(4) [ac' — cu')x-i- [bc’ — cb')y = ilc' — cW.

Combinant de mémo la seconde équation avec la troisième, on trouve

(5) [u'e' - c'a’)x (b'c'~ cb')y = (Tr’ — c'rl’-,

et l’on doit déjà observer (66) que les étquations (i),(i), (3) peuvent être remplacées par les équations (i), (4), (5).

Actuellement, pour éliminer/, il faut multiplier l’équation (4) par b'c' — c'b’, l’équation (5) par bc'— cb', puis retrancher le second résultat du premier, ce qui donne

[((7c' — crt')( è'c* — c'b’] — (rt'c* — r'n’) {bc' — cé')]x = (tic'- c(l'){b'c’- c'b') - c'd’){bc'- cb'),

ou, effectuant les calculs, réduisant, et divisant par c',

j (ab'c' — ac'b’-hca'b' — ba'c’+ bc'n' — ch'a')x,

' * \ rib'c’-ddb'-c-cil'b'-bd'c’-c-bc’æ—cb'rr,

équation qui donne pour x la valeur unique

= flb'c'—dc'b’-hcd'b'— brtr’-hbc'd’—cb'd’

^ aV c’ — ac'b’-h ca'b' — ba'c’ — cb'a'

ikiügle

DISCUSSION GfiNtRALB DBS tQIJATIONS DU PREBIEB DBGIlfi. 89 D’ailleurs, comme les équations (i), (4), (S), et, par conséquent, les équations proposées peuvent être remplacées par les équations (i ),(4), (6), ai l’on reporte la valeur unique de x dans l’équation ( 4 ), on obtiendra nne valeur unique pour et si l’on substitue le système unique des valeurs de j; et de ^ dans l’équation (i), on obtiendra une valeur unique pour z. On voit donc que les équations proposées admettent un seul système de valeurs pour x, z.

Les valeurs de y et de z peuvent, au reste, s’obtenir directement en effectuant, pour éliminer x et z, ensuite x et y, des calculs analogues à ceux qu’on a effectués pour éliminer / et z.

On trouverait ainsi

ad'c’ — ac'd'-h ca'd’ — da'c’ + dc'n' — cd'a’ aUc’ — ac'b‘ -¥■ ca'b’ — ba'c* + bc'tf — cb' a"' ah'd’ — ad'b’-^ tla'h' — bn’d' -^-bd'a’ — db' rd ab'e^ — ac'b'-h ca'b’ — ba’e’ -t- bc'a' — cb'a’

On voit assez la marche qu’il faudrait suivre si l'on avait quatre équa tiens à quatre inconnues, etc.

68. L’emploi des accents, dans les notations des coefficients, a donné lieu à l’observation d’une règle d'après laquelle on peut facilement retrouver les formules précédentes, sans être obligé d’effectuer l'élimination.

Considérons d'abord le cas de deux équations à deux inconnues. On a trouvé, pour les valeurs,

cb’ — bc' ne — en’

^ ~ ab' — bu'' ^ ~ ab' — bd

1° Pour obtenir te dénominateur commun h ces deux valeurs, formez avec tes lettres a et b, qui désignent les coefficients de x et de y dans la première équation, les deux permutations nb et ba, puis interposez le signe — , ce qui donne ab — ba-, enfin, accentuez dans chaque terme la dernière lettre : il vient

ab' — ba'.

a” Pour obtenir le numérateur relatif à chaque inconnue, remplacez, dans le dénominateur, la lettre qui désigne le coefficient de cette inconnue, par la lettre qui désigne la quantité toute comme, en laissant toutefois les accents à la même place. D’aprè’s cette règle, ab' — ba' se change en cb' — bc',pour la valeur de x, et en ac' — ca' /mur la valeur dey.

Considérons actuellement le cas de trois équations à trois inconnues.

■ Bigïïi2e<r&> Cloogle

CBAPITBB II.

yo

n, b, c désignant respectivement les coelBcionts de x, y, z, et d les quantités toutes connues.

.1“ Pour avoir le denominuteur commtm, prenez te dénominateur nb — ba, qui convient au cas de deux inconnues [abstraction faite des accents), inlroiiuiscz la lettre c dans chacun des deux termes ab et ba à toutes les places, savoir : à droite, au milieu, et à gauche; puis, interposez des signes alternativement jmsitifs et négatifs ; il en résulte

abc — acb -t- cab — bac -t- ben — cba ;

mettez ensuite dans chaque terme l’accent ' sur la deuxième lettre, et l'accent ' sur la troisième lettre; il vient, /mut le denomirusteur,

ab'c" — ae'b" ca'b" — ba' c' -\- bc'a’ — cb'a’.

a" Pour former le numérateur de chaque inconnue, remplacez, dans le dénominateur, la lettre qui désigne le coefficient de cette inconnue par la lettre qui désigne la quantité toute connue, en laissant les accents à la même place. Ainsi, /mur x, changez a en d; /mur y, b en d ; et /mur z, c en d.

Ce que nous venons de dire peut être regardé comme un résultat d’observation pour deux et pour trois équations. Il serait facile d'établir une loi générale applicable à un nombre quelconque d'équations; mais la démonstration en est très-compliquée, et sort tout à fait des éléments. Nous renvoyons, pour cet objet, à la seconde Partie de \' Algèbre de Garnier, à un ouvrage intitulé ; Complément de la théorie des éqiuitions du premier degré, par M. Desnanot, au Manuel d' Algèbre de M. Terquem, etc.

69. Voyons l'usage qu’on jwut faire de ces formules, dans les applications particulières.

Soient les dcu.x équations

5 X — 7J’ = 34 , Zx — tZy — — 6.

En les comparant aux équations générales,

ax + by = c, a'x ■+■ b' y — c’,

on a

Substituons ces valeurs dans les formules

cl/ — hc' ac' — en'

^ ~ ab' — 6a” ^ ~ ab' — 6a”

DISCUSSION GtNËSALE DES tQCÂTIONS DU PHEMIEB DECRfi. 9I

il vient

34x — 13 — ( — 7)x — 6 — 34xi3 — 7x6 Sx— i3— ( — 7^x3 ^ — 5 xi3-+-7x3

— 65 -(- ai — 44 " ’

Sx — 6 — 34x3 — 3o — 10a — '3a ,

^ ~ Sx — i3 — ( — 7)x3 “ -65 4- ai ~ ^ !

et je dis que x = 1 1 , r = 3 sont les valeurs propres à satisfaire aux deux équations proposées.

Nous pourrions d'abord nous en assurer en les substituant dans ces équations. Mais, afin que la démonstration soit indépendante de tout exemple particulier, remarquons que, pour passer des formules relatives aux équations

ax -i- by — c, a' X -t- b' y — c', à celles qui conviennent aux équations

nx — by = c, n’ x — h'y = — c',

il suffit (63) de changer é en — b, b' en — b', et c' en — c', ce qui donne

cx — b' — ( — é) X — r' nX — r' — c x n'

«X — b'—( — b)xtf ’ ^ ~ a X — b' — ( — b) x

et pour déduire de ces nouvelles formules générales les valeurs qui conviennent aux équations particulières, il faut faire

« = 5, é = 7, c=34; fl'= 3, i'= i3, c'= 6.

Donc, enfin, on obtient les valeurs relatives aux équations proposées, en faisant dans les formules générales,

fl = 5, i= — 7, c=34|n'=3, b'= — i3, c' = — 6,

et effectuant ensuite les calculs d'après les règles établies pour les quantités monômes.

Lu règle consiste, en général, à substituer à la place îles coefficients a, b, fl', b',. , leurs valeurs considérées avec les signes dont elles sont affectées dans les équations particulières, et à effectuer toutes les opérations indiquées, d’après les préceptes établis.

Ces applications justifient de nouveau la nécessité d'étendre aux quantités monômes les règles des signes établies pour les polynômes, puisque

CBÀPITBB II.

c’est le moyen de rendre les formules générales du premier degré applicables à tout exemple particulier.

Passons à la discussion de ces formules.

70. n résulte de leur inspection que, dans les applications particulières, on peut obtenir quatre espèces do valeurs pour réponse à des problèmes du premier degré, savoir : des valeurs positives, des valeurs négatives,

des valeurs de la forme — > enfui, des valeurs de la forme -• Le proo O

blême des courriers a donné lieu à ces quatre sortes de résultats que nous

nous proposons maintenant d’interpréter d’une manière générale.

D’abord, les valeurs positives sont ordinairement des réponses aux questions, dans le sens de leur énoncé. Cependant nous observerons que, pour certains problèmes, toutes les valeurs positives ne satisfont pas à l’énoncé. Si, par exemple, la nature du problème exige que les nombres cherchés soient entiers, et qu’on trouve des nombres fractionnaires, le problème ne peut être résolu. Quelquefois encore la nature du problème ne permet pas que les nombres inconnus surpassent des nombres connus et donnés à priori, ou soient au-dessous d’autres nombres. Si les valeurs obtenues, quoique positives, ne satisfont pas à cette condition que comporte l’énoncé, mais qui no peut s’exprimer par une équation, le problème no peut encore être résolu. Ainsi, les valeurs positives des iaeonnues sont, à proprement parler, tics réponses directes aux équations; et elles ne sont des solutions de la question qeC autant que leur nature se concilie avec les conditions qu’exige l'énoncé. Pour concevoir comment un nombre peut vérifier une équation sans vérifier le problème dont elle est la traduction algébrique, il suffit de remarquer qu’««c même équation est ta traduction algébrique d'une infinité de problèmes, dont les uns admettent tous les nombres absolus possibles pour solution, et les autres n’admettent que des nombres d’une certaine nature.

71. Nous savons déjà à quoi nous en tenir sur les valeurs négatives, pour les problèmes à une seule inconnue, -àfin de ne rien laisser à désirer, nous allons démontrer le principe du n° 89 pour un problème à plusieurs inconnues.

Il est évident d’abord que, si l’on obtient des valeurs négatives pour quelques-unes des inconnues, les équations du problème ne peuvent être satisfaites dans le sens où elles ont été établies ; car si un système de nombres absolus, mis pour x,y, z, . . . , pouvait les vérifier, les équations qui en ont été déduites par la méthode d’élimination devraient elles-mêmes exister pour ce système. Ainsi l’équation qui ne renferme plus qu’une des inconnues pour lesquelles on a obtenu un résultat négatif devrait être

Discussion GSNtRÀLE DES ÉQUATIONS DU FREMIER DEGRÉ. 98

vériBée par un nombre absolu, co qui sérail contre l’hj'pothèse. Il faut donc rectifier l’énoncé du problème, ou du moins les éfjitutions qui en sont la traduction algébrique.

Actuellement, si, dans les équations, on change les signes des inconnues pour lesquelles on a obtenu des résultats négatifs, les termes affectés de ces inconnues changeront nécessairement de signe, et l'énoncé du problème sera généralement modifié en ce que certaines quantités, d’udelitives qu’elles étaient, deviendront soustractives, et réciproquement.

Je dis enfin que, ces modifications une fois faites, le nouvel énoncé est vérifié par tes valeurs obtenues d'abord pour tes inconnues, abstraetion faite de leurs signes. Prenons, pour fixer les idées, trois équations à trois inconnues

ax by + cz = d, d x h' y -v-d z = d', a’x -i- b" y -+- c'a = d",

et supposons que ces équations aient donné

Changeons, dans ces équations, y, z, en y', z’ [y', z' désignant pour le moment —y, — z) \ il vient

ax -i-bf ci = d, n'x -t- b'fi -h c'z'= d’ , a" x b’y -t- c" z' = d' .

Or ces équations, ne différant des précédentes qu’en ce que y et a sont remplacés par y et z', donneront nécessairement pour résultats

d'où, remettant —y et — a à la place de/' et de a',

ou bien enfin,

Ainsi, le principe (S9) est vrai pour les problèmes du premier degré à plusieurs inconnues.

iV. B. — Quelquefois l’énoncé d’un problème n’est, par sa nature, susceptible d'aucune modification ; dans ce cas, les valeurs négatives ne sont que des solutions des équations modifiées, qui peuvent d'ailleurs être regardées comme la traduction algébrique d’autres problèmes susceptibles do modification.

72. n nous reste maintenant à interpréter les expressions telles que A O