CHAPITRE IK
Soit d’abord l’équalion à une inconnue
t!x = b - d ou X = - •
i“ Si, pour une hypothèse particulière faite sur les données de la question, on a
n = O, il en résulte x=-*
Or l'équation devient, dans ce cas, o x x = è, et ne peut évidemment être satisfaite par aucun nombre déterminé. Remarquons cependant que
l’équation pouvant aussi se mettre sous la forme ^ = o, si l’on remplace
X par des nombres de plus en plus grands, ^ dilférerera de moins en
moins de o, et l’é(|uation approchera de plus en plus d’ètro exacte ; en
sorte qu'on peut prendre pour x une valeur assez grande pour rendre ^
moindre qu’aucune quantité assignable.
C’est pour cette raison quo les algébristes ont coutume de dire que l’infini satisfait, dans ce cas, à l’équation ; et il y a des questions pour lesquelles ces sortes de résultats forment une véritable solution. Du moins, il est certain que l'équation ne peut admettre de solution en nombre fini} et c’est tout ce qu’on peut prouver.
a' Si l’on a, en même temps, = o, é = o, la valeur de x prend la ‘
forme -•
Or l’équation devient, dans ce cas, o x x = o ; et tout nombre fini, positif ou négatif, peut satisfaire à cette équation.
Ainsi l’éijuation (ou le problème dont elle est la traduction algébrique) est indéterminée.
73. C’est ici le lieu de faire une remarque importante sur l’expression qui, dans certains cas, est le symbole de l’existence d’un facteur commun aux deux termes de la fraction, lequel facteur devient nul par l’effet d’une hyqwthèse particulière.
Supposons, par exemple, qu’on ait trouvé {>our résultat de la solution d’un problème
DISCUSSION GÉNÉBALB DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. gS Si Ton fait, dans cetto formule,
a = h. il en résulte x = - •
Mais remarquons que — 6’ peut (31 ) se mettre sous la forme
[a — b) (a’ -h ab ^*),
et que a’ — b^ est égal à [a — b) [a -i- b) \ ainsi la valeur de x revient ù
__ (a — b) (rt® •+■ ab b^)
^ {a— b) [a-hb)
Or, si avant de faire l’hypothèse a = ^, on commence par supprimer le facteur commun a — b ^ la valeur de x devient
fl® ■+■ ab -I- ^®
expression qui, dans l’hypothèse de a = è, se réduit à
3fl® 3fl
X = ou X =
Soit, pour second exemple, l’expression
fl® — (fl -4-^) (fl — b)
(fl — 6}® ~ (a — b) (fl — b)
En faisant a — b^ on trouve, pour valeur de x, -2^= à cause de l’existence du facteur commun, a — b \ mais si l’on supprime d’abord ce facteur, il vient x = “3^’ expression qui se réduit à x = ^ lorsque l’on fait a = b.
Concluons de là que le symbole ^ est queltitiefois en Algèbre Vindice
de V existence d'un facteur commun entre les deux termes de la fraction qui se réduit à cette forme. Ainsi, avant de rien prononcer sur la vraie valeur de la fraction, il faut s’assurer si ses deux termes ne renferment pas un facteur commun. Dès qu’il n’en existe pas, on conclut que l’équation l'st réellement indéterminée. S’il en existe un, on le supprime, puis on fait de nouveau l’hypothèse particulière; et l’on arrive à la vraie valeur
de la fraction, laquelle peut encore se présenter sous trois formes, g- (A
96 CBAPITBE II.
pouvant être nul sans que B le soit), auquel cas l'équation estcé^
terminée, impossible en nombre fini, ou indéterminée.
Cette observation est très-utile dans la discussion des problèmes.
74. Revenons à notre sujet, et considérons maintenant les deux équations à deux inconnues
ax ■+■ bx = c, a'x + b'y = c',
pour lesquelles on a trouvé (67)
ch' — hc' ne' — ra'
^ cib' — éa' ’ ^ ~ ab' — ba‘
Supposons que l'on ait
ab' — ba’ o,
rb' — bc', ne' — ca' étant différents de o. Les valeurs de x et de / se réduisent à
Pour interpréter ces résultats, observons que, do l’équation ab'— ba'=o, on tire o'= d'où, substituant dans l'équation a'x -t- b'f = r', et
divisant par
, be' ax-+- bx= -p-y
équation dont le premier membre est identique avec celui de la première nx bx = c,
tandis que le second membre est essentiellement différent ; car de l'iné-
bc'
galité cb'— bc' ^ o, on déduit c ^ -p-‘
On voit donc que les deu.x équations proposées ne peuvent être sati.sfaites simultanément par aucun sxstèrne de valeurs finies de x et de x- Si l’on a en même temps : ab' — ba' = o, cb' — bc' ~ o, la valeur de
X se réduit à x = valeur qu'il faut interpréter.
Les doux équations proposées peuvent, en vertu de la relation ab' — ba' = o, se mettre sous la forme
bc'
ax-hbx = c, ax-i-bx—-p-y
DISCUSSION gënErai.e des Equations di< rKEUiER deurE. équations iiui renlronl nécessairement l’une dans l’autre; car de la relation ch' — hc' = O, on déduit c =
Ainsi, pour résoudre le problème, on n’a réellement qu’une seule é<iuation entre deux inconnues : donc la question est imlétcrminéc.
Comme la relation ab' — éo' = o donne b' =—•> d’où , substituant
dans la relation cb' — bc’ = o, et réduisant, ac' — ca' = o, on peut on conclure que, si la valeur de x est de la forme - j la valeur de y est généralement de même forme ; et rcriproquemeut.
73. Cette proposition, relative eu système de deux équations, cesse d’être vraie dans un seul cas particulier ; c’est celui où les coefficients d’une môme inconnue sont nuis à la fois dans les doux é<iuations. Examinons cette circonstance qui mérite (pielque attention.
Sup[iosons, par exemple, 6 = o, ft' = o ; auquel cas les valeurs de x et de / se réduisent à
^ o ac' — ca'
Si nous remontons aux équations, elles deviennent, dans l’hypothèse ijuc nous considérons,
ax=c, fl'x = c', d’où l’on déduit x=- et x = -;-
Or il arrive néces.sairement de deux choses l'une :
Ou bien - ^ -r : alors les équations sont incomijatiblcs ; et la valeur a ^ a
de jr est do la forme — ou infinie, tandis que x est de la forme -•
Ou bien - = — : alors les deux équations s’accordent entre elles. De a a
plus, comme la relation - = -r donne ne' — cn'= o, il s’ensuit que la a a
valeur de r prend la forme comme celle de x; mais il y a cette différence essentielle, que j- est réellement indéterminé, tandis que x a une
valeur r/crcr/«/ncV, -• a
Au surplus, dans l’hypothèse qui nous occupe, savoir, b — o, b' = o, ac' — ea' — o, il est facile de faire ressortir l’existenco d’un facteur commun qui rond nuis ù la fois les deux termes do la valeur générale de x.
Alg. n. 7
Soit posé, pour cela,
CUAPITBE II.
il on résulte
et rt = -p :
a'=mn, c'=mc, et b' = nb;
d'où, substituant dans la valeur générale de x, ^.r valeurs do a', c', b', il vient
cb’ — bc’\ ab' — ba' )
1 ceo
ben — cbni rb[n — m)
^ ~~ abn — bnm ab[n — ni)
expression qui, après la suppression des deux facteurs communs b et
n — ni, se réduit à x = - •
Quant à la valeur générale de Xi o"® devient, par les
mêmes substitutions.
nem — cnm nc{ni — m) r(ni — ni) abn — bnm ~ ab ( n — m ) ~b[n — m)
expression qui, à cause do i = o et m — m = o, sc réduit toujours à -i
sans qu’il y ait aucun facteur commun à supprimer; et nous avons vu qu’en effet .)' doit rester indéterminé. '
N. B. — Le cas particulier où les coefficients des deux inconnues dans la mémo équation sont nuis à la fois n’infirme pas la pro|x)3itioB établie au n" 7 1.
On trouve :
r Pour rt = O, i = O, . . . ,
rb' — en'
a” Pour n' = O, é'= O,. . .,
— br' ne*
Ce sont là les seules circonstances dignes de remarque.
7fi. Nous venons de voir que, pour deux équations à deux inconnues, à l’exception d'un seul cas particulier, si l’une des inconnues a une valeur
de la forme - ou l’autre a nécessairement une valeur de la mémo
DISCDSSION GfiNËBALE DES ËQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. pg
forme; do plus, quo, dans l'hypothèse où les valeurs sont toutes deux de la forme ^ , les équations sont incompatibles, et que , si elles sont de la
forme les équations sont indéterminées.
On ne peut plus tirer les mêmes conséquences dès que l’on a plus de deux équations. Ainsi, par exemple, quand il s’agit de trois équations, si l'on suppose nul le dénominateur commun aux valeurs des trois inconnues, il pourra arriver, suivant les circonstances : ou bien quo les numérateurs soient tous trois différents de zéro ; ou bien , qu’ils soient tous trois égaux à zéro ; ou bien , enfin , que l’un des deux étant égal à zéro, les deux autres soient différents de zéro; ou réciproquement.
Cela s’explique assez bien par l’observation que , pour deux équations, le dénominateur ab'~ ba', étant composé de deux termes seulement, ne peut être nul que de trois manières principales, savoir, lorsque l’on a
a° 0 = 0, o'= o, ou bien 6 = o, b'—o,
y O = o, é = O, ou bien o'= o, i'= o,
tandis que, pour trois équations, le dénominateur D étant
ab'c’ — ac'b" .s- ca'b’ — ba'c'+bc'a" — cb'tf, peut être mis sous différentes formes, telles que
a(b'c'~ c'b“) -I- a'(cb’— bc’) -H a‘(bc'~ cb'), b{c'a" — flV') -I- é’(oc' — fo*) -+- b’(ca' — ac’), c[a'b’ — b'a") c' (ba’ — ab’) -i- c’(ab' — ba'),
et est ainsi susceptible de devenir nul d’un très-grand nombre de manières, sans que les valeurs des numérateurs dépendent les unes des autres.
Par exemple, en supposant qu’aucune des quantités a,b,c; a', b', c'; a", b’, c’\ d, d', d“, ne soit nulle, admettons que l’on ait
b' c' — c'b’—a, ch’ — bc’=o, d’oÙ bc' — cb'=o-,
le dénominateur D devient zéro ; et comme le numérateur de la valeur de j; se déduit de D (68) en changeant a, o' en d, d', d", il est clair que ce numérateur serait aussi égal à zéro ; mais rien no prouve que les numérateurs qui correspondent a y ol k z deviennent nuis dans la même
oo
CHAlMinB 11.
circonstance, puisque les quantités b'c’ — c'l>", cb" — /«■', et b<- éb n entrent pas dans leurs expressions.
Toutefois, dès qu’on obtient pour la valeur de l'une des inconnues une
expression do la forme on peut conclure, sans acccne bestriction,
que les équations sont incompatibles en nombres finis, au moins pour cette inconnue. En effet, comme il résulte do ce qui a été dit (C7), que l’une des équations proposées i>eut être remplacée par l’équation qui ne renferme plus que l'inconnue (wur laciuelle on a trouvé un résultat de la
forme il n’y a que ce résultat qui , combiné avec certaines valeurs dos
autres inconnues, puisse vérifier les trois écjuations proposées.
Mais do ce qu’on obtient (lour l’une des inconnues un résultat de la
forme -> on no peut pas conclure que les ésiualions sont indéterminées ; car, ainsi que nous l'avons déjà fait observer, les autres inconnues peuvent avoir des valeurs de la forme
Il y a plus : c’est qu’il est possible, que les trois valeurs soient de la forme -> sans que, pour cola, l’on soit en droit de conclure que les équa-
tiens sont indéterminées; elles peuvent même, dans ce cas, être incompatibles.
Prenons pour exemple les trois équations
aj:^bx + c2. = d, n'.r-¥ b'Y-hc'z = d\ ma' x mb' y -s- me' z= md\
dont la dernière résulte de la multiplication des deux membres de la seconde par le facteur m\ ce qui revient à supposer dans tes équations générales à trois inconnues
et, par conséquent,
fl' h' r' il’ ’ on déduit de ces dernières relations
b'n" — a*b''—o^ c'a" — rt’r'*=o, d'/i" — fl'f/”= o,
Or, si l’on désigne par O le dénominateur commun aux trois valeurs de x,y, Z, et par N, N', N" leurs numérateurs respectifs, valeurs dont la loi de formation a été établie (68), on trouve, en vertu des relations ei-
DISCUSSION GSn£BALE des équations du PREMIEB degré. 10 1
dessus,
D = c'I)’) -h ii'c“) -hr[a'b"— b'a’] = o,
N = il(b'c’ — c'b’) -+- b[c'd“— d'e') c(d‘ b“ — b'd‘) = o,
N'= «{d'e’- c'd') d{c‘d'- rtV) .+- c{a'd'-d'à') = o,
N"= it(l)i rC — d' b’) -I- b(d'a"— a'd’) ■+■ d{a'b’— b'a’) = o.
Ainsi , les valeurs de ^ réduisent toutes les trois à la même
forme -•
Dans le cas que nous considérons, on peut, jusqu’à un certain point, regarder — comme un symbole A'indetermination , car la troisième équation est une conséquence nécessaire de la seconde; ainsi, l’on n’a que deux équations réellement distinctes entre trois inconnues. Cependant, observons que les résultats obtenus ci^lessus auraient encore lieu, lors même que la seconde équation serait incompatible avec la première, si l’on avait, par exemple, pour cette seconde équation,
pax -(- pbr -i- pez — <jd {p étant > ou < </ ).
On voit donc que les trois résultats ^ peuvent quelquefois correspondre à une iiicnm/iatibililé entre les équations.
L’absurdité peut encore se manifester par trois valeurs de la forme ^
bien qu’aucune des trois é.(|uations ne puisse être considérée comme rentrant dans l une des deux autres; c’est ce qui arriverait pour les trois équations suivantes ; •
ax -h by -i- ez = d, ax -H br -t- cz = d', ax -t- by + cz — d".
En considérant ces svtèmcs, on reconnaît facilement qu’il ne peut exister en nombres finis, à moins que l’on n’ait d — d'— d’. Il est vrai que, du moment où cette dernière relation existe, le système des équations devient indéterminé, puisqu'il se réduit à une seule équation entre trois inconnues. Mais il n’en est pas moins certain que, dans leur état actuel, les
équations sont incompatibles, quoique les trois valeurs soient de la forme ->
ainsi qu’on peut s’en assurer en remontant aux valeurs de D, N, N', N" établies ci-dessus.
Prenons, pour nouvel exemple, les équations
ax -t- /()■ ~ cz — d. a'.i + br -y- cz = d', a’x br-+- cz — d’,
zgibjiX^oogle
