CHAPITRE II
que l'on déduit des équations générales en supposant
b — //= ot c — c'~ c".
On trouve pour les valeurs de D, N, N\ N",
D = a(bc — cb) -h u'[rb — bc) -h a" [bc — cb) s= o,
N = il (Im: — cb) -H d'[cb — bc) -¥ d”{bc — cb) = o, flr/- H- da“ — da' ->r a' d* -d!a%
-4- rfV -a'rT-h da' —da").
Los deux expressions do N', N" doivent être généralement différentes de
zéro ; ainsi, dans le cas qui nous occupe, la valeur de x est de la forme - ?
tandis que celles de jr et de z sont de la forme
Pour interpréter ces résultats, observons que les équations ne peuvent exister simultanément, à moins que l’on ait
d’où l’on tire
fl^ nx — d*^— a' €l — ax = d” — cfx\
X = , et X =
Ici, comme au n“ 75, il peut arriver de doux choses l’une :
Premier cas. Les deux valeurs de x ne s’accordent pas, c’est-à-dire que l’on a
ou, réduisant les fractions au même dénominateur, et supprimant les deux termes ad^ — w/, qui se détruisent,
r/'rt"- da”- ad' - a'd' da' ad" > o
(il est inutile do tenir compte du dénominateur commun).
Or le premier membre de cette inégalité n’est autre chose que le facteur entre parenthèses, dans les valeurs de N' et N" (au signe près toutefois pour N'). Donc les valeurs de j et de z se présentent sous la forme infinie, .
ou — J quoique celle de x soit de la forme - •
Second cas. Les deux valeurs do x s’accordent entre elles, ce qui entraîne la relation
DISCUSSION GfiNfiRALE DES ÉQUATIONS DU PEEHIEII DEGRÉ. Io3
OU
d'a" — da‘ — ad' — a’d’-h lùt'-t- ad’ = o\
et alors les deux valeurs de y et de z sc ré<luisenl à - comme celle de x.
Mais tandis nue la valeur de x est déterminée et Virale à ou — >
celles de y et de z sont indéterminées, puisque l’on n’a plus, entre ces deux
inconnues, que l’équation unique
by -i- cz — d — ax =
da' — nd' a' — a
&' cas [Kirticulier est analogue à celui (75), qui se rapporte à doux équations à deux inconnues.
Les exemples précédents sulGsent pour convaincre que, si le symbole — dénote toujours un système d’équations auxquelles il est im/mssiblc do satisfaire, du moins en nombres ^nis, le symbole ^ est tantôt un caractère
à' indétermination, tantôt un caractère A'absanlité. Qucliluefois aussi (73) il annonce la présence d’un facteur commun ; et ce (]u'on a de mieux à faire pour interpréter do pareils résultats, c’est de remonter à l’équation ou aux Cfiuations qui y ont conduit.
77. Lorsqu’on opère directement sur des équations particulières, on [wrvient à d'autres caractères d’absurdité ou d’indétermination.
Premier exemple. Soient les trois équations
dont la dernière résulte de l’addition des deux premières, membre à membre. En calculant D, N, N', N', d'après les formules générales, et conformément au principe du n° (i9, on trouve successivement D = o, N = o,
N'= o, N'= o. Ainsi les valeurs de x, y, z sont toutes trois de la forme
Mais opérons directement sur ces é<iualions.
Si l’on élimino z entre la première et la seconde équation, puis entre la première et la troisième, d’après les méthodes connues, on parvient aux deux équations
igx-H igy = i33, igx -+- igy = i33, d'où, retranchant de nouveau ces deux équations l'une do l’autre,
égalité qui n’apprend rien ni pour x, ni pour 7 .
lo4 CHAPITRE II.
En remontant à l’une des deux équations précédentes, qui, toute sinaplification faite, devient
on pourra donner à x touU's les valeurs imaginables, ce qui fournira pour r des valeurs correspondantes tirées de celle dernière équalion. Reportant ces valeurs de x et de.)' dans Tune des trois équations proposées, on obtiendra autant de valeurs correspondantes pour s. ^
Soit fait, par exemple,
.r = i, 2, 3, il en résulte j=6, 5, 4» 3,...,
d’où, substituant dans la première équation du système donné,
et tous ces systèmes, en nombre infini, vérifient les trois équations pro- |)Osées.
I>e syrnbole obtenu dans cet exemple pour les trois inconnues, correspond donc ici ù une indétermination ^ comme l’égalité o = o, à laquelle on est parv’enu en opérant directement sur les équations.
Deuxième exemple. Soient les équations
2X-4- 3.r — 2= i6, 5ar — 2.r-f- 72 = 21, 3x — 5j -+- 82 = 12.
Pour former la troisième, on a retranché la première de la seconde, en ajoutant toutefois le nombre 7 au second membre de l’équation résultante. Le système est donc absurde ; aussi, en calculant les valeurs de 1), N, N', N", au moyen des formules générales, on obtiendrait successivement
ce qui donnerait pour le^ trois inconnues des valeurs de la forme — •
Mais, en éliminant directement 2 entre la première et la seconde équation, puis entre la première et la troisième, on parvient aux équations
19X-+- 19,) = i33, et igx-f- i9r = 108;
d’où, retranchant de nouveau ces éciuations l’une de l’autre,
égalité absurde qui fait ressortir l’incompatibilité des équations proposées. Troisième exemple. Soient les deux systèmes
(2) X '1^- 9.) Ü2 = iG, 2X -+■ 3.)' -4- 22 = 7, 3 X G) -v- 4 3 = 19,
DISCUSSlOi'* (ifNËUALB UKS ÊgUATIÜKS DU DKEHIEB DKGBË. I o5 que l’on peut considérer comme un cas particulier du dernier exemple général discuté (76) ; car en divisant les deux membres do la première équation de chaque système par 3, et les deux membres de la troisième équation par a, on obtient les nouvelb'S (Quations
ax-T- 3j-t- aa = 7,
'-x+'iy-\-xz =
iG
ax-i- 3) -f- aa= 7,
- x-H 3rn- 2z = — •
11 y a toutefois entre les deux systèmes cette différence que, pour le premier, la relation -, — - = — ~ du n° 76 est satisfaite, et qu’elle no l’est pas |K)ur le second.
Cela jK)sé, l'élimination de a entre la première et la seconde équation, puis entre la seconde et la troisième du système (i), donne les doux résultats identi(|ues, = i, x = i. Substituant cette valeur dans les trois é(]ualions du même système (i), on parvient, toute réduction faite, aux équations
3 r-t-aa=5, 3/ -4- a a =5, 3/-t-aa = 5,
()ui, par l’élimination de^ ou de a, donnent lieu à l’égalité
Oi n'-sidtat correspond aux valeurs do la forme ^ i trouvées pour les trois inconnues au moyen des formules générales. Il faut se rappeler toutefois (76) que le symbole obtenu pour x, avait une valeur déterminée
qui est ici x = i , et que le mémo symbole obtenu pour j et a indiquait une imU'termination .
Kn répétant les mémos calculs par rapport au système (a), on obtient x= I, et x = —5.
lai valeur x = i portée dans la première et dans la seconde des équations du système ( a ) donne
et la valeur x = — 5 portée dans la seconde ou la troisième équation du même système donne
3) I aa = 17 ;
lo6 CHAPITRE II.
si l’on élimine / et i entre ces équations et la précédente, on trouve
O = la,
égalité absurde qui correspond à la valeur ^ trouvée ]>our x, et aux va- \
leurs do la forme — obtenues pour / et pour z.
Les résultats o = o, o = A, auxquels on parvient quelquefois en traitant directement des é(]uations |>articuliéres, ont donc la même signification
que les symboles que l’on obtient en appliquant les formules gé-
nérales à des exemples iiarticulicrs.
78. Nous terminerons la discussion des équations du premier degré par l’examen d’un cas lrès-im|iortaiit ; c’est celui où, dans les équations générales, on supimse nulles à la fois toutes les quantités connues qui sont dans le second membre. Dans ce cas, il suit évidemment de la loi de formation des numérateurs pour les valeurs générales des inconnues (68), que ces numérateurs s'anéantissent tous en même temps, c'est-à-dire que l’on a A = o, B = o, . . . . Comme d’ailleurs il n'existe aucune relation particulière entre les coefficients <7, b, c, a', b', c',. . . des inconnues, la valeur de D, qui résulte d’une certaine combinaison do ces coefficients, est généralement différente de o. Ainsi l’on a, pour valeur des inconnues, x o, jr=o, a = o, ... ; et ces valeurs vérifient évidemment les équations proposées.
Si cependant, outre rhy|X>thèse que les quantités connues du second membre soient nulles à la fois, on a encore entre les coefficients des inconnues la relation D = o, les valeurs générales se réduisent à la forme o o
X = -, r = -J etc.
Or je dis que, dans ce cas, les équations sont indéterminées, mais que les rapports des inconnues sont des nombres déterminés, qu’on peut obtenir à l’aide des équations proposées.
Soient, en effet, les trois équations
ax -¥■ by S- cz = o, a'x-s-b'ys-dz = o, a' x -s- b'y c' z — o, dans lesquelles on suppose (67) que l’on ait D = o, ou
«6'c* — ae'b'-s- en' b’ — ba'c’-t- bdn"— cb'n’= o.
Elles peuvent être mises sous la forme
DISCUSSION CÉKËRâl.E DES 6QUAT10MS DU PREBIEH DEGRfi. IO7
Or on tire des deux premières, en traitant ^ et^ comme deux inconnues,
•r bc' — cb' y ca' — nr'
z~ fib' — ba'' Z ab' — bu'
D’où l’on voit quV/J donnant h z des valeurs entièrement arbitraires, les valeurs de x et de y s'obtiendront à l'aide de ces deux proportions dont les seconds rapports sont constants et égaux à des i/iiantités connues. Mais il reste à savoir si ces valeurs satisfont à la troisième équation, qui devient alors uno équation de condition. Or on trouve, en les substituant dans cette équation.
bc' — cb' ,, ca' — ac ,
ou, réduisant et écrivant les termes dans un ordre convenable, ab'c’— ac'b’-y ca'b’ — ba'c’-^ bc'a"~ ctéa’ = o, condition qui, par hypothèse, est satisfaite.
79. Ceci nous conduit naturellement à l’examen d’une circonstance dont le second problème du testament, résolu (49), nous a offert un exemple : c’est celle où l’énoncé de la question conduit à un nombre d'équations réellement différentes, plus grand que celui des inconnues à déterminer.
Supposons, pour plus de généralité, que la question renferme » inconnues, et donne lieu à in équations différentes, m étant > n. Il faut d'nbonl combiner entre elles un nombre n des eipialions proposées, pour en tirer les valeurs des n inconnues ; substituer ensuite ces valeurs dans les [m — n) équations restantes, ce qui donne lieu h autant de relations entre les tlonnées; et ces dernières relations doivent être vérifiées, /tour que le problème soit /wssible, tel qu'il n été énoncé. Les (m — n) relations ainsi obtenues se nomment des équations de condition.
80. Récapitulation de la discussion précédente. — Il résulte de cette discussion :
1° Qu’un système d’équations du premier degré à pareil nombre d’inconnues ne peut être, en général, satisfait que d'une seule manière ( G7 ) ;
a” Que toute valeur /xtsitivc, trouvée pour une inconnue, réiiond directement aux équations du problème, sans répondre toujoursà l'énoncé (70);
3° Que toute valeur négative ne répond qu’indirectemonl à l’énoncé ou aux équations qui en sont la traduction algébrique, mais répond toujours aux é<|uations considérées dans un sens purement algébrique (.“)9 et 71 ) ;
CU\PITRK II.
lo8
4° Que toute r.Tpression de tu forme trouvée pour une ou plusieurs
des inconnues, indique une incompatibilité dans lo système d’équations proposé, du moins rinqtoasibilité d’y satisfaire en nombres Jtnis pour toutes les inconnues (72, 7i et 7t>);
5° Que le symbole obtenu pour une ou plusieurs inconnues, correspond, soif à une indétermination, soit à une incompatibilité (72, 74, 75, 76), soit à la présence d’un facteur commun entre les deux termes de chaque fraction qui s'est réduite à cette forme (73);
6“ Que, si tous les seconds membres du système d’équations proposé sont /mis, les valeurs se réduisent généralement à o ; que si, à cette liy- |)othèse, on ajoute œlle que le dénominateur commun des valeurs des inconnues soit O, le nombre des sysièmes de valeurs est injîtii; mais ces valeurs sont assujetties à avoir entre elles des rapports constants (78);
7° Que, lorsque le nombre des équations est plus j;rand que celui des inconnues, le problème n'est possible qu’autant que les valeurs des inconnues déterminées jiar un nombre d'équations égal à celui des inconnues satisfont aux autres équations (79).
81 . Voici les énoncés Ue nouveaux problèmes susceptibles do discussion, ou dont la lèsolution présente quelque intérêt :
Qcatobzikiie phoblème. — U/i banquier a deux espèces de monnaies : il faut a pièces de la pre/nière /mur faire un èru ; il faut b pièces fie la seconde pour faire la même som/nc. Quelqu’un vient et ilctnnntle c pièces //our un ècu. Combien le banquier lui don/iera-t-il de pièces de chaque espèce /mut le satisfaire ?
n- . ale — b) , b(a — r)
Rep. i" espece, — ^ i” espece,
Quinzième problème. — Trouver les deux côtés contigus d'un rectangle, en supposant ; i" que res deux côtés soient entre eux dans un rapport donttè m \n; que, si Ton aug/nentc ou diminue les côtés de ce rectangle lies qua/itités données a et b, la surface soit augmentée nu diminuée tle la quantité p.
En supposant les côtés augmentés, on trouve
«I [ P — ab) ni P — ab )
^ ntt -t- mb ’ ^ na -r /nb
Seizième problème. — On de/nnnde les biens de trois personnes, A. B. I i, sachant : i “ que la so/ume du bien de A et de l fois les biens rie B et Q
DISCUSSION GSNËRALE DBS SUUATIONS DU PREHIBR DEGRS. IU9 TUl ê finie n p ; 2” que In somme du bien de ^ et de m fois les biens de A et G est égaie a q \ y que la somme du bien de G et de n fois les biens de A et B est égale à r.
(Gctte question est susceptible d'ôtre ri^soluc assez simplement par l’introduction d’une inconnue auxiliaire dans le cours du calcul : cette inconnue est la somme des trois biens.)
Dix-seitiéme problèue. — Trouver les biens de G i>ersounes A, B, G, D, E, F, d'après les conditions suivantes : i" la somme des biens de A et B est n ; celle des biens de G et D ^st b ; ht somme des biens de E et F est c; 2° le bien de A vaut m fois le bien de G; 7c bien de D vaut n fois le bien de E ; le bien de F vaut p fois le bien de B.
(Ge problème peut être résolu par le moyen d’une seule équation à une seule inconnue.)
Ges différents énoncés sont extraits de V Algèbre de M. Lhuillicr, do Genève, ouvrage recommandable par le choix des questions qu’il propose pour Exercices.
1 lO
CHAPiTRI 111
