DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES
83. Considérons d’abord le cas d’une quantité monôme, et pour découvrir le procédé de l’extraction de la racine carrée, voyons comment on forme le carré d’un monôme.
On a, d'après les règles de la multiplication des monômes (16),
(ba'b'cY = bn'b'c x. ba'lfc — îSfl'ô'c’;
c’est-à-dire que, pour élever un monôme au carré, il faut élever son coefficient au carré, et doubler chacun des exposants des différentes lettres. Donc, pour revenir d’un monôme carré à sa racine, il faut ; i° extraire la racine carrée du coefficient, d’après tes règles exposées en Arithmétique; a° prendre la moitié de chacun des exposants.
Ainsi l'on a
et, en effet,
EXTRICTIUN DK LA RACINK CARREE, ETC.
De même
^6i5a'b‘c‘= iSnb'c^j car (ibab'c^Y = b'xba'b'c'.
Il résulte de la règle précédente que, pour qu’un monôme soit le carré d’un autre monôme, il faut que son coefficient soit un carré parfait, et que tous ses exposants soient pairs. Ainsi 98<jô‘ n’est pas un carré parfait, parce que 98 n’est pas un nombre carré parfait, et que a est affecté d’un exposant impair.
Dans ce cas, on fait entrer la quantité dans les calculs, en l'affectant du signe v^, et l’on écrit ainsi : v'gSaé'.
On appelle ces sortes d’expressions, des monômes irrationnels, et, plus spécialement, des radicaux du sccomi déféré.
84. On peut, toutefois, faire subir à ces expressions quelques simplifications fondées sur le principe suivant : La racine carrée du produit de deux ou piusieurs facteurs est égale au produit des racines carrées de ces facteurs; ou, en langage algébrique,
^nbed. . . = yfii-^-i/c' fît ....
Pour démontrer ce principe, observons que, d’après la définition de la racine carrée d'un nombre, on a
( f abed. . , ) ’ = abed ....
D’un autre côté,
{fax. fb X fc...y= (fây ‘{fhY •{fcY ' • • = abc. . . .
Donc, puisque les carrés de fabrd. . . oX ô.nfîi fhfc fd. . . sont égaux, ces quantités sont elles-mêmes égales.
Cela posé, l’expression ci-dessus, fijiab' peut se mettre sous la forme
/49Ô* X 2« = f^^b' X ffâ.
Or f^b' se réduit (83) è qb^\ donc
f 98 ab' = y b’ f%a.
On a de même
\îfSd‘b‘c‘d = fija^b'c’ X bbd = 3nir fôbd, fUMid'b'c” f i4.frt’6'c'* X (ibe -- laoô’t' fbhc.
COAPITRE III.
En géni'Tal, pour simplifier un monôme irrationnel, mritrz en évidence mus 1rs fnrtrurs rarn-s purfaits, et exlrarrz-en In racine ( 83 ) ; puis placez le prmiuit de truites ces racines en avant du sij’iie radical, sous leipicl vous laissez d’ailleurs les facteurs non carrés parfaits.
Dans les expressions yb’^'ia, 3abc \Jbbtl, M.ah'c'’ \Jiobc, lesquantiUls 7^', 3rtôf, iiab'c* s’appellent les coefficients du radical.
83. Jusqu’à présent nous n'avons pas eu ôgard au àigne dont le monôme peut être affecté, tx'pendant, puisque dans la résolution des questions, on est conduit à considérer des quantités monômes précédé(“S du signe -+■ ou du signe —, il faut savoir comment opérer sur ces sortes de quantités. Or le carré d’un monôme étant le produit de ce monôme par lui-même, il s’ensuit (62) que, que! que soit son signe, le carré de ce monôme est positif. Ainsi, le carré do -s- b a’’ b’ ou de — e.sl -e -xbtélé.
D'où l'on peut conclure que, si un monôme est /lositif, sa racine cariée peut être indifféremment affectée du signe -+■ ou du signe — . Ainsi, v/yn‘ = ± 3o’; car -f- 3«’ ou — 3«’, élevé au carré, donne également -h gn'. Le double signe ± dont on affecte la racine s’énonce plus ou moins.
Si le monôme proposé est négatif, l’extraction de sa racine est impossible, puisqu’on vient de voir que le carré de toute quantité, positive ou négative est essentiellement positif. Ainsi p' — y, v^— 4a', p — ô sont des symboles algébriques qui représentent des opérations impossibles. On les désigne sous le nom de quantités, ou plutôt à' expressions imaginaires : ce sont des symboles d'absurdité que l’on rencontre souvent dans la résolution des problèmes du second degré.
On fait toutefois, jiar extension, subir à ces symboles les mômes simplifications qu’aux expressions irrationnelles qui offrent des opérations exécutables. C’est ainsi que (8i)
de môme
v/ — ba’6 = v/4a'( — 2λ) = 2a ^ — 'tb = ia i/Tb yj — t.
86. Tâchons maintenant de découvrir, pour le carré d'un polynôme quelconque, une loi de formation dont nous puissions déduire un procédé pour l’extraction de la racine carrée.
On a déjà vu (19) que le carré d’un binôme, a -s- b, est égal à
a’-i- 20Ô X- lé.
KXTBACTIÜN DK LA HACINF. CARRÉK, ETC. Il3
Soit aclucllemont à former le carré d'un trinôme n-t- 1> c. Désignons, pour le moment, « /> par une seule, lettre .ï; il vient
(n -e ô .4- rP = (,v -j- r)^ = .v* -f- r*.
Or on a
j’ = [fl H- A)’ rr a' -S nri/i ■+■ A’, a tr = a (n 4 A) r — u«c 4- 'aAc.
Donc
(« -4- A -4- r)' — -e y.ri/i + A’ -4- Artc -4- aAc + c’;
c.’osl-à-dire que /<• ritrrv d'un trinvnir sc rniiipme de la somme des rarrés de (rois termes, et fies ilmiblcK prodails rie res termes muttipliês iteiix h deux.
Je dis quo cctlo loi de romimsiiion est applicalile à un (lolynôme quelronque. En efTel, supposons-la vérifiée pour un polynôme d’un nombre quelronque de termes, et prouvons (pi’elle peut s elendro à un polynôme renfermant un terme de plus.
Afin d’y parvenir, soit « -t- A' -t- r h- -4- / -4- A un polynôme
composé de ut + 1 termes ; et <l4âignons par s la somme <les m {>rcmiers termes n 4- A -4- r -4- «Y -4- ... -4- 1 ; i -4- / représente le polynôme proposé, et l’on a
(,. -I- A)’= .v’-4- a vA -4- A',
ou, remettant à la place de s ,s;t valeur,
Or la première partie de cett4- expr4*ssion se compo.s<!, par hypothèse, fies carres de tous tes termes du premier potyriûme et tirs doubles produits de tous CCS termes multiplies deux à deux ; la seconde ]>artio renferme (mes tes doubles prmtuUs des termes du premier imlynômc fmr le le nouveau terme introduit A; enfin, la troisième partie est te rnrré itéré terme. Donc la loi de rom/msition énoncée ci-dessus est encore vraie |)Our lo nouveau polynôme. Mais elle a été reconnue vraie pour un Irinôme; 4lonc elle a lieu pour un polynôme de quatre termes : étant vraie pour ipmtre, elle l’est nécessairement pourc/m/, etain.si de suite. Donc elh-est générale.
On peut énoncer la loi d une autre manière : Le lurré d’un /mlynfimc Tcnferme le carré du premier ternir, plus le double produit du premier terme /mr le srrond, plus le carre du second ^ plus les doubles prmluits de rlineun des deux premiers termes par le troisième, plus te rnrré du troisième ; plus les doubles produits de ehaeun des trois premiers termes /uir te ipiatrième, plus le carré du quatrième i et ainsi de suite. G;l énoncé, Atg. D 8
CnAPITRB III.
qui oAl évidommcnl comprbi dans le premier, nous conduira plus aisément au prooWé do l'oxlraclion de la racine carrée d'un |K>lynOmc.
On trouvera, d’après celio loi,
(S/r* — 25(1*— iGrt’é*;
(3«' — hab H- 4/'*)’= ()ff‘ — 120^/) -h 4n'è’-t- 24"’^’ — i6ftb^~i- idb', ou, réduisant,
q«* — i2(/*è -t- iSfi^b' — 16/)';
( 5o’è — 4 d/'c’ — 3n’r)’ = iiSfi'b^ — .ian^b'c -t- ’^ti'b'r^.
— 48«è’<^ -H ZCb’c' — 'ion' bc ■+■ i^n' br' — iHn'bc’ Ç)n'r'.
Passons à l'extraction de la racine carrée.
HT. Di^iftnons par N le (wlynôme dont il faut obtenir la racine, et par 11 cette racine, que nous siq'posons peur le moinenl déterminée; concevons, en outre, que ces deux polym'mies soient nnbmnrs par r,ip|>orl aux puissances descendantes de l'une des lettres qu'ils renferment, n, |wr exemple.
Cela posé, j'observe d abord que les deux premiers U'rmes de N (en le supposant ordonné) peuvent donner sur-le-champ le premier et le second terme de R; en effet, il résulte évidemment de la loi de la formation du carré ( 8(1 ) : 1 " I/IIC te carré tlu premier terme de R renferme un c.ri>osnnt de ta lettre a, plus grand tpi 'mienne des autres parties tpii entrent ibtns la enm/msition du entré de R ; a" que le double produit du premier terme de R par le second renferme aussi un cx//osant plus élevé que dans les parties suivantes. Ainsi, les doux parties dont nous venons de parler, n'ayant pu se réduire avec les autres, sont né<»ssairement les deux termes de N affectés du plus haut exposant de o, et de l'exposant immédiatement inférieur. D'où il suit que N est réellement un carré parfait ; 1° son premier terme doit cire un carré parfait, et lu racine de ce terme, extraite d’après le procédé du (83), est le premier terme r/cR; 2.° son second terme doit être divisible jtar le double du premier terme tic R ; et, en effee tuant cette division, on a /mur quotient le second terme de R.
Afin do pouvoir obtenir les termes suivants, /oc/non.v le carré du binôme déjà trouvé, et rctranrhnns-lc de N ; le reste, que nous désignons par N', renferme encore les doubles produits du premier terme de R par le troisième, du .second terme de R par le troisième, plus une suite d'autres parties. Mais le double /inuluit du /tremier terme /tar le troisième doit renfermer a avec un cx/msnnt /dus grand que dans les /sanies suivantes, et ne peut, i>ar conséquent, avoir été réduit avec ces parties. Donc ce double produit est le premier terme de N'; ainsi ce premier ferme doit
EXTRACTION DE I.A RACINE CARRÉE DES PUI.YN6hES. I l5 Aw divisMtr par le double du premier terme de R ; et, si l’on effectue cette division, le i/uoticnt est te troisième terme de R .
Pour obtenir de nouveaux termes, il faut former les doubles produits fin premier terme et du second par le troisième, plies le carré du troisième, puis retrancher tous ces proiluits du reste N', CO qui donne un reste N' qui renferme encore le double produit du premier terme de R par le quatrième, plus une suite d'autres parties. Mais on prouvera, comme précédemment, que te premier terme de N* est nécessairement le double produit du premier terme de R par le quatrième. Àinsi, en divisant le premier terme de jutr le double du premier terme de R, on a pour quotient le quatrième terme de R ; et ainsi de suite.
y. B. R est absolument indis)>ensable, après avoir obtenu les deux premiers termes de la racine, de retrancher le carré du binôme trouvé du polynôme N ; car, ordinairement le carré du second terme de R renferme a avec le même exposant que dans le double produit du premier terme par le troisième; par conséquent, il a dù se réduire avec ce double produit. Ainsi, ce n’est qu'après avoir soustrait ce carré, du polynôme N. qu'on peut assurer que le premier terme du reste est épal au double produit du premier terme do R par le troisième. La môme remarque s’applique aux trois, quatre,. . . premiers termes trouvés.
Nous laissons aux élèves studieux le soin de déduire des raisonnements précédents le procédé général de l'extraction de la racine carrée d’un polynôme; il leur suffira, pour cela, de réunir toutes les parties qui sont en eametère italique. Nous allons d'ailleurs en faire l'application à un exemple particulier.
Soit proposé d'(-xtraire la racine carré»' du polynôme
^Ç)u’b’ — i^ab -t- — liorr*/; -t- lüé*.
25«‘ — Sordb iga’b’— T.\ab' v- iGô' ) 5«’— -e ib’
— iSn‘ -r 3oa' b — çia’lè \ uta‘
Premier reste .(oep/j'— ■s^ab' ■+■ lü//
— 4o«'/<’-i- 2/\ab' — if)//‘
Deuxième reste o
Après avoir ordonné le polynôme (uir rap|)ort à a, on extrait la racine carrée de 25a', ce qui donne 5a’ que l'on écrit à la droite du polynôme, puis on divise le second terme — 5cia’'b par io«’. double de 5n’ (on écrit io<d au-dessous de 5a’) ; le quotient est ’iab que l’on place à la droite de 5a’. la>s deux premiers termes de la racine .sont donc. 5a’ — 3«i. Carrant ce binôme, on trouve 25a' — Zoa'h -e Çfa’b’, ipii, reiranebé du polynôme proposé, donne un reste dont le premier terme esl ,\oa'b’. Di
CnAI’ITRE III.
visant ce premier terme p:ir io«’, doiil>le de 5ei’, nn nlitient |xiur quotient 4- 4/)’ : c’est le Iroi.sièmo terme do la nu ine que l'on ^(u it A la droite des deux premiers termes. Formant le double produit do So’ — 3oi par 4i’, et le carré do 4^’, on trouve 4ofdé’ — i^ab' ■+- iGé\ i>olyn6me qui, retranché du ri'sie, donne o ))oiir reste final. Ainsi Soé -s- 4/'’ est
la racine demandée, ou plutôt (81) l'une des valeurs de la raeinc demandée. L'autre valeur e.st — .Afl’-f 3«ô — 4/é, et on l’obtiendrail en écrivant — 5</’ j)otir la racine earrée de s v..A«', puis divis;ml — Soo’ô par — io«’, et continuant l’oiK'ralion comme ci-dessus. Mais il est plus simple, dès qu’on a obtenu la première, d’étrin* ensuite, pour la .seconde, — 3«ô H- 4//’).
Les commençants petivent s’exercer sur les carrés qui ont été dévelo])pés (80).
88. Si le iHjlytiôme propos*; renfermait plusieurs termes alTectés de la même puis,sance de la lettn* itrinciiuile, il fauilrait di.s(K)Scr le polynôme comme il a été pn*scrit pour la division (20) ; puis on appliquera le procédé ci-dessus en regardant comme une seule et môme partie i» xurmiir nlffi^brfqiu; des termes affectés de la même puissance, et remplaçant, dans l’énoncé de ce procédé, les mots : prcniii r trrme du polynôme, jirrwicr terme du reste, ]>remirr terme, xeeoml terme, ... de la racine, i>ar les expressions : première /mrtie du polynôme, ou jmrtie njfertèe de lu plus
hatüe puissance, première jtartir du reste, premiè-re, seconde, ixirtie
de la racine. Au surplus, ces sortes d’exemples se présimtenl fort rarement.
