Nous terminerons par les remaniues suivantes
1" Un binôme ne peut jamais être un carré |>arfait, puisqu'on sait que le carré du polynôme le plus sinq)le, c’est-à-dire d’un binôme, renferme trois parties distinctes qui ne ixmvent éprouver aucune réduction entre elles. .Ainsi l’expression tè s tè n'est («is un carré; il lui manque le terme ± ’inb [M)ur qu elle Soit le c;irré de « ± b.
1° Peuir qu’un trinônu; ordonné soit un carré (larfait, il faut ([ue les deux fermes extrêmes soient des carrés, et que celui du milieu soit le doul)le pnxiuit des racines carré<*s des deux autres. Alors la racine du trinôme peut s’obtenir immédiatement. H-rtrayez les rmines des detu termes ej tre'mes, et affectez les deux racines du meme signe nu de signes contmin's, suivant <pte le terme moyen est positif ou négatif. Vérifiez ensuite si le double pmtluif de ces ileu.e racines ilonnr le terme moyen du trinôme.
.Ainsi, p«'— 48rt'/;'-*- 64 o’ A' a pour racine rarrée
v/fi.irt’A ou ±(3«’— 8«A'l,
EXTRACTIOK DE LA RACINE CARRÉE DES POLTNÔlIES. II7 car
3rt^X — t6rlù‘= —
12«/< — 96’ no peut ôlre un carré parfait, quüii|uo 4"* el 9^'’ soient les carrés de an et de 3//, et que iii-iù = ’ao x CA; mais — 96’ n’est |tas un carré.
3" Lors<|ue, dans la série d’opérations que comporte le procéalé général, le premier terme de l’un des resU's n'est pas exactement iJivisible jiar le double du premier terme de la racine, on |K>ut en conclure que le latlynôme propose n’est [>as un cttrré parfait. C’est une conséqueiic»' évidente des raisonnements (|ue nous avon.s faits pour parvenir é ce procédé.
4“ Enlin, on peut, tpiand il y a lieu, a|ipliquor aux racines carrées des (H)lynômes //o/i e/i/n-x /mi-faits les simplilicatious du (H4).
Soit, par exemple, l’expression y/o i ■+■ 4«’A’-e iiilr'.
La (|uantité sous le radical n'i'st pas un carré parfait; mais elle |Kmt se mettre sous la forme 4 «A -t- 4/é). Or le facteur entre |Kirenlhéscs
est évidemment le ctirré de « o- aA; d’où l'on peut conclure (81).
H- 4«’A’-t- \ab^~ ± {il + ■xb)^nt> (')
!H). Ciilciil lies riiiliiuiij: du ifmnd de^vé. -r- L’exlractinn de la racine carrée donnant naissance à de nouvelles expressions algcbriiiues, telles que v^«, 3 y/Â, 7 y/â, connues sous le nom de i/iiiwtitvt irriiUoiinidlrs ou de riidiiiiiix du .sfcuud ili "ic, il faut établir des règles pour elleclucr sur ces expressions les ipialre opérations fondamenUdes.
Di'JliiUwii. — fieux radicaux du second degré sont dits sciiiüliMes lursiyue lu quantité qui est sous le radical est la même jHiur ies deux radicaux. Ainsi, 3a et bc'jh, gy^ et yy/ü, sont dits des rudicaux sewhhthk’s.
AMHiun cl sousliiictiuii. — Pour ajouter ou soustraire des radicaux semblables, ou ujomc ou l’ou sonslcuU les deux coejpcienls, i>iiis on ulfcctc lu soimiic ou lu diffcrriia; du mdii id l oiimiiiii. Ainsi l'on a
3a =r ( 3<i -t- .Wjy/Â, 3o y/A — bcyjb = ( 3« — ■ 5c) y/Â; de mémo
yy/'Art -1- 3y/vïn ir ioy/î«, 7y/« — 3v/ârt = 4v^âo-
Deux radicaux |)cuvent, au premier abord, n'étro pas semblables et le devenir |iar les simplifications du (81).
(*) Voir la Noli' I a la fin du volume.
Il8 r.BAPITKB III.
Par oxemple,
v/48(ii’-t- A v^75fl = 46 Sb^iît = 96 a^/45-3^/5=6^/5 — 3v^=3v^.
Si les radicaux ne sont [>as semblables, on no fait qu'indiquer l'addilion ou la soustraction. Ainsi, pour ajouter 3y^ à on écrit amplement, 5 ^ 3
MuUipUcntion. — Pour mnitiplier deux radicaux entre eux, on multiplie l’une par l'autre les deux quantités comprises sous le signe radical, et l’an affecte le produit du signe radical commun.
Ainsi
y/ô X j/Â = yja x h\
c'est le principe du (84), énoncé dans un ordre inverse.
S'il y a des coefficients, on commence par les multiplier entre eux, et l’on écrit leur proiluit en avant du radical.
Par exemple,
3 y/5 né x 4 ^‘soa = 12 y/ looo’A = non \/h,
%a \fbc X 3n y/ïë = 6n’ \[Wc'= 6a' bc, a« y/«’-H b' X — 3« y/ a' b' = — 6a’(n’-e b').
Division. — Pour diviser deux radicaux l’un par l’autre, divisez tes deux quantités comprises sous le signe, l’une par l’aiUrc, et affectez le quotient du signe radical commun.
Ainsi
Bn effet, les carrés de ces deux expressions sont égaux à la même quantité jî donc ces deux expressions sont égales.
S'il y a des coefficients, on écrit leur quotient comme coefficient du radical. — Par exemple,
5«y/Â; zb^C=:^ yj\
■ y/6Âë : ^c\j%b = 3« ~
91 . 11 existe deux transformations d un usage fréquent dans 1 évaluation numérique des radicaux.
CALCUL bu» HAUICAUX UU SECO^U UEURÉ. I K)
Lu /iremit'iT consiste à faire [tasser sous le railical le coofllcienl de ce radical. Soit, par exemple, l'expression on observe qu'elle re-
vient (90) à
y'grt'x v'’56, ou ^^u^.5b = ^iiii'b.
Ainsi, /Miur faire passer sous ie signe d'an raïUcal le coefUcient de ce radical, il suffit d’rlevcr le coefficient au carré.
Voici l'usage principal de cette transformation : Que l'on ail à évaluer, à une unité près, l’expression G/Ï3. Comme i3 n’est pas un carré [larfait, on no peut obtenir qu’une valeur approchée do sa racine. Celle-ci est égale à 3, plus une certaine quantité plus [tetito que i [ mais en multipliant cclUt racine [tar 6, on a i8, plus lo produit par G de la quantité plus [>etite que ■ ; ul lu résultat total peut avoir une partie entiéru [ilus grande que i8. Aün de déterminer cxaclomcnt cette partie entière, on met
6 /Î3 sous la forme y^G’. i3 = v^3G x 1 3 = v/468.
Or la racine carrée do 468 a ai pour partie entière; donc G [Ai 3 est égal à ai, plus une [Kirtio de l'unité qui ne peut être détorminéi’ exactement.
' On trouvera de mémo que \i^ — 3i, à moins d'une unité près.
Im secomle transformation a pour but do rendre rationnels les dénominateurs d’expressions telles que — n, étant dos nom-
bres entiers quelconques,' ainsi que q, (|ui est d’ailleurs supposé non carré jxirfdit. On [larvient souvent à ces sortes d'ex|)rossions dans la résolution des problèmes du second degré.
Or on atteint ce but en multipliant les deux termes do la fraction par P — \f<l •à le dénominateur est p s- \j<i, et par p s- \[<f si le dénominateur est p — t/y. En eflet, ta somme do ileux quantités multipliée par leur différence donnant (6) pour produit la ilifféremc des carrés, on a, par la multiplication indiquée,
a «(/-'— y/y) «(/< — V'y) «/< — a\fq ^
p^'fi (/^ -f-i/ÿ)
a a (p -f- fî/ ) ap s- a^q
p—yfi (p — v'^i)(p -*■}/'/)
e.\prossiuns dont le dénoimnatour est lationnol.
i’our domior une idée do l umlé de cette traasfuriiialion, aupposous que
CIIAFITRR III.
l'on ait A ('v.alui.'r aiiproximalivomonl l'oxprtssiori
Kilo rovimil à
mi bion à
Or 7v^ lîst la luôme chose (|ii<' x 5. ou quantité tloni la
valeur est iS, n nnr itnùr pris. Ainsi
■ji 1 -t- 1 :'i imo traction
Si l’on voulait avoir une valeur [4us exacte de cotte expression, il .\uffimit (le catntlcr twe un certain (te^rc d' appm.iùmntion, d'ajouter 21 h In racine (obtenue, puis de diviser la sowme f>ar 4, mi d'en prendre le spiart.
Prenons pour second exemple l'pxpression
cl proposons-nous de l’évaluer à o,oi près.
On a
7V^ 7 t/a (Vi I — y/3) 7 v/55 — 7 t/i^
y/TT -f- y/3
Il -3
Or
= 5i ,91 à 0,01 prè:
et
V'iS X 49 -
donc
il ,91 — 27,
Il 25,80
-—ig-- 3,10,
à — ^ près, et même à près, à cause do la division par K. 100 800
On trouverait, par un procédé analogue.
— 3,16, à 0,01 près.
A". Ji. On iiourrait bien calculer ces sortes d'expressions en évaluant approximativement chacun des radicaux qui entrent tant au numérateur
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nfisoLurioN des équations du second degré. 121
(]u'au dunominateur. Mais commo on n'auraii pas une valeur exacte du dénomioatcur, on no se formerait pas aussi facilement une idée précise du degré d'approximation obtenu, tandis que, par le moyen indiqué, le dénominateur étant rendu mUonnel, on sait tout de suite à quoi s'en tenir sur le dt^ré d’approximation.
Les principes de l'extraction de la racine carrée des nombres particuliers et des quantités algébriques étant établis, nous pouvons passer à la résolution des problèmes du second degré.
§ 11. — UÉS01.UT10N des équations du second degré.
93. On distingue deux espèces d'équations du second degré, les équations à deux termes OU inconip/rie.t, et les équations à trois termes ou eomplètes.
Les premières sont celles qui ne renferment que des termes affectés du carré de l'inconnue et des termes tout connus; telles sont les équations
On les appelle ét|uations « deux termes, parce qu’au moyen de deux transformations générales des n'" 4'3 et on peut toujours les ramener à la forme ax'- = b.
En effet, considérons la troisième équation qui est la plus compliquée, on a d’abord, on chassant les dénominateurs,
puis, réduisant.
Los équations à trois termes ou complètes sont celles qui, outre le carré do l’inconnue, renferment la première puissance de cette inconnue : telles sont les équations
!)x' — yx =r 34,
fl 24 3 12
elles (leuvent toujours être ramenées à la forme ».i - -t- hx =z c, au moyen des doux transformations déjà citées.
Remiirt/iie. — Souvent une é<|uation du premier degré en ap|Kirence sc trouve élevée au fécond degré après la disparition des dénominateurs. Soit, par exemple, l’équation
CflAflTkll lli.
Si l’on chasse les dénominateurs, olle devient
ou, cifectuanl les calculs et réduisant,
ax’ -t- aix = 10.
En général, toutes les fois que x entre dans les dénominateurs d’nnc équation, on no peut juger du degré do ootic équation qu'après avoir fait disparaître les dénominateurs (44), et o))éré toutes les réductions.
