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on obtient enfin
ou bien encon^
X — ir
riV$ulUil auquel on parvient plus aisément on mollanl d'abord lVM|uation h c
sons la forme .r’ t- - r . - et nous n’avons exposù la méthode préré-
II ti '
dente que comme un simple exereiee de ealcul sur les radicaux du second dettré.
'.Mi. .‘\pplii|uons ces princi|)es à la résolution de quelques problèmes.
PiiEMisn eROBLÉMK. — 'fiviivi'r iiii minibi V ti l i/iw le ilmible île snii riirn-, iiiiffiie/itè rlii Iri/ile lie ce mmibre, ilonnc pour somme (iS.
Soit .r le nombre inconnu; on a, pour l'équation du problème,
d'où
RÉSOLUTION DE OUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 1 3iq •
donc
j:-— --h — - 5 el r - - ^ -il
La première valeur satisfait à la question dans le sens de son énoncé. En effet,
2 X ( 5 )’ -+- 3 X 5 = 'ji X ï5 1 5 = 65,
Pour interpréter la seconde, observons d’abord que, si l’on remplace x par — X dans l’équation 2x* h- 3x = 65, il n’y a que le coefficient de 3x qui
change de signe, car ( — x)’ = x*. Ainsi, au lieu d’obtenir ,r = — - ± ,
on trouvera
x = -d=— ou x = — ,
et X = — 5, valeurs qui ne diffèrent des précédentes que par le signe.
Ainsi, l’on peut dire que la solution négative — — i considérée indépendamment de son signe, satisfait au nouvel énoncé : Trouver un nombre tel que le double de son carré, diminué du triple de ce meme nombre, donne 65 pour différence. En effet, on a
Deuxième problème. — Une personne a acheté un certain nombre de mètres de drap ftour 240 francs. Si, avec la meme somme, elle avait eu 3 mètres de moins du meme drap, le mètre lui aurait coûté 4 francs de plus. — On demande le nombre de mètres acheté.
Soit X ce nombre ; exprime alors le prix du mètre. Si, pour 240 francs,
JC
elle avait 3 mètres de moins, c’est-à-dire x — 3 mètres, le prix du mètre serait alors représenté par • Mais d’après l’énoncé, ce dernier prix surpasse le premier de 4 ; on a donc l’équation
d’où l'on tire, en chassant le dénominateur et réduisant,
dlg. B.
CO (|ui ilunno
CtlAPITItK III.
r =r i5 ol r = — 12.
valeur i5 satisfait à l'énonce, car i5 mètres [)our 240 francs dnnnont ou ifi francs [>our le prix (lu mètre, et 12 mètres pour
240 francs donnent pour le pri.x du mètre, 20 francs, nombre qui surpasse iG de 4-
Quant à la seconde solution, on |ieut former un nouvel énoncé auquel elle convienne. En etlet, remontons à l'équation, et changeons j- en — il vient
• — — 4, ou bien
équation qui jx'Ut être traduite en langage ordinaire de deux manières ditTérentes ; 1° Une personne a acheté un certain nombre de mètres de drap pour francs; si elle avait /myé la mtfme somme pour 3 mètres de plus, le mètre lui aurait coûté 4 francs de moins. — On demande le nombre de mètres acheté.
2” Une personne a vendu un certain nombre de mètres de drap pour •x^o francs ; si, pour la même somme, elle avait vemhi 3 mètres de plus, le mètre lui aurait été paré 4 francs de moins. — On demande le nombre de mètres vendu.
Ce dernier énoncé se rapporte peut-être plus immédiatement au changement de signe de x, puisqu'un achat négatif peut être considéré comme une vente.
En résolvant d’ailleurs l’équation de l’un de cos énoncés, on trouverait évidemment x=i2, x — — 15; car l’équation réduite deviendrait i’ -I- 3x = 180, au lieu de x' —Zx — 180.
N. B. — Les deux problèmes précédents oITrent une nouvelle confirmation du principe établi (50) pour les problèmes du premier degré; el nous on donnerons (99) une démonstration pour toute équation du second degré à une seule inconnue.
Tboisièmb problème. — ün négociant escompte deux billets, l'un de 8776 francs payable en 9 mois, l’autre de 7488 francs payable dans 8 mois; il paye pour le premier, de plus que pour le second, 1 200 francs. — On demantle le taux d’intérêt d’après lequel il a dû escompter.
Solution. — Pour rendre les calculs plus simples, désignons par x l'intérêt do 100 francs pour 1 mois, ou [«r i2x l’intérêt |iour i an; gx et 8x sont les intérêts pour 9 mois et 8 mois : donc loo -i- gx et 100 -i- 8x représentent ce que doit devenir le capital 100 francs au bout de 9 et 8 mois.
nËSOLVTlON DE QUELQUES PROBLËVES DU SECOND DECES. l3l Ainsi, pour déterminer les valeurs actuelles des deux billets de 8776 francs et 7488 francs, il faut établir les proportions
100 Qx ! 100 :: 8776 :
loo-i-gx’
et les quatrièmes termes de ces proportions expriment ce que le négociant a payé pour chacun des billets. Donc, en vertu de l'énoncé, on a l'équation
— = laoo;
loo-t-gx ioo-t-8x
ou, observant que les deux membres sont divisibles par 400, ai04 187a „ J
