X -H px — q

-t- (a -t- p) X — q; S- a' S- pa — q .

La division du premier terme x' du dividende par le premier terme x du diviseur donne pour quotient x, et pour premier reste (a -t- p) x — q; la division du premier terme (a -t- p) x de ce reste par x donne pour nouveau quotient as- p, et pour nouveau reste a' -t- pa — q, quantité indépendante de X.

Cela posé, si a est racine de l’équation x’ -i- px — y = o, un a nécessairement a' s- pa — q = o\ ainsi, le deuxième reste de la division cidessus étant nul, la division totale est exacte, et le premier membre de l’équation proposée est divisible par x — a.

Réciproquement, si la division de x’ -+- px — q par x — a est exacte, on a nécessairement if s- p a — q = o, c'est-à-dire que a est racine de l’équation. >

Comme, dans le cas oùa est racine,. r — «diviseexaclement x’-h/jx— ly, et donne pour quotient x s- a s- p, réciproquement x s- as-p divise exactement x’ px ■+- q, et donne pour quotient x — «; d’où l’on peut conclure que la quantité — « — yu est elle-même une racine de la proposée.

Ainsi, l’identité x’’ s- px — q — [x — n)[xs-as-p) démontre la propriété du n" 97.

Voici maintenant les conséquences :

On vient de voir que, si a est racine do l’équation x’ -i- px — «y = o, — a — y> est la seconde racine do cette équation.

Or :

i” Si l'on ajoute les deux quantités «, — a — />, il vient pour résultat-/>;

- - 'Oigitizfxf by tiooglc

DISCUSSION tifiNËRAlE DK I.'ëQUATIUN DU SKCUNI) DECRE. 1 35

•a" La rolation -t- pa — </ = o revient à celle-ci "(— « — /')= — '/•

D’où l’on voit que, dAru toute équation du secoml degré, ramenée à la forme -h px — q = o, le coefficient p du second terme, pris en signe contraire, est égal à la somme algébrique des racines; et le dernier terme — q est égal au produit de ces mêmes racines.

C'est, au reste, ce qu’on peut vérifier directement sur les valeurs obtenues (93)

En ajoutant ces doux égalités membre à membre, on trouve

et, en les multipliant,

N. B. Il ne faut |ias perdre do vue que toulosccs propriétés supposent que l’équation soit ramenée à la forme x-’-i- px — q = o \ c’est-à-dire ; 1° qu’on ait d’abord divisé toute l’équation {wr le coi-fficicnt do x' ; -i" que tous les termes soient transposés et ordonnés dans le premier meinbro.

Discussion .

99. Keprenons l'équation générale x' + px = q, qui, étant résolue, donne

Pour que cette expression, qui renferme un radical, puisse être évaluée, soit exactement, soit par approximation, il faut (85) <|uc la quantité

soumise au signe radical, c’est-à-dire q + '-ri soit positive. Or, étant

nécessairement positif, quel que soit le signe de p, il s’ensuit que le signe

de la quantité q

■ dépend principalement de celui de q, ou do la quan-

tité toute connue.

(À'ia posé, soit d'abord y ixisitif; aurpiel cas I éipiation est de la forme x^ ± px =-(-</{ les signes dos coetriMcnts sont nus ici en évidence ) ; on

t‘ti déduit

CHAI’ITRF. III.

Or il est visible que les deux valeurs de x seront toujours réelles et pourront être déterminées, soit exactement si ^ <»t un carré parfait, soit

avec tel degré d'approximation que l’on voudra.

Toutefois, de ces deux valeurs, la première sera positive et répondra directement à l'équation (ou au problème); car le radical ^ ^ étant

numériquement plus grand que -> l'expression 4/7-1-^ est

nécessairement de même signe que le radical.

La seconde valeur est, par la même raison, essentiellement négative,

puisqu’elle doit avoir le même signe que celui dont le radical est affecté.

Considérée indépendamment de son signe, cette valeur ré|)ond, non plus

à l'équation telle qu’elle a été établie, mais à celte équation dans laquelle

on aurait remplacé x par — x, c'est-à-dire à x* px = 7.

En effet, celle-ci-donne

valeurs qui ne dilfèrent des précédentes que par le signe.

11 est d'ailleurs remarquable que la même équation lie entre elles deux questions dont les énoncés diffèrent néanmoins par le sens de certaines conditions. (fw> les deux premiers problèmes du n“ 96.)

Soit actuellement 7 négatif; auquel cas l'équation est de la forme x’ ±yjx = — 7, et donne

Pour que l'extraction de la racine puisse s'ellecluer, il faut i/ne l’on ait l>'

Cette condition étant satisfaite, les deux valeurs sont réelles.

Comme d'ailleurs, s/- 7 est numériquement plus petit que -, il

s'ensuit que ces valeurs sont toutes deux négatives si p est positif dans l'équation, c’est-à-dire si cette équation est de la forme