X- -I- px

UISCDSSION ÜÉ>'ÉRALE DE L’f.yliATlüN DU SECOND DEGRÉ. l37

Et elles sont toutes deux positives si p est négatif, c'est-à-dire si l’équation est de la forme

x‘ — px = — 7.

Les propriétés du n° 98 conduisent au même résultat. En effet, soient n et b les deux racines de l’équation du second degré

x’-e px = 7;

on a entre ces racines et les coefficients les relations a b = — P, ab = — 7.

Cela posé, si 7 est positif dans le second membre, et, par conséquent, négatif dans le premier, il s’ensuit que les, deux racines sont de signes contraires, puisque leur produit est né.gatif. D’ailleurs, leur somme algébrique est négative ou jmsitivc, suivant que p est positif ou négatif; ce qui veut dire que, des deux racines, la plus grande numeriquement est de signe contraire au coefficient p.

Si, au contraire, 7 est négatif dans le second membre, et, par conséquent, positif dans le premier, comme le produit des doux racines est alors positif, il faut nécessairement qn’elles soient de même signe, savoir : toutes les deux négatives quand p est positif, et toutes les deux />ositivcs quand p est négatif.

iOO. Le cas où les deux racines sont positives mérite une attention particulière.

L’équation étant alors de la forme x' — px = — q, devient, par un simple changement de signe,

px — x’= 7, ou x(p — x) = 7,

et peut être considérée comme la traduction algébrique do ce problème ;

Partager un nombre tbmné p en deux parties dont le produit soit égal à un autre nombre donné 7 et 7 sont supposés ici des nombres absolus).

En effet, x désignant l’une des parties,/^ — x est l’expression de l’autre partie, et x (/> — x) l’expression de leur produit, qui, par hypothèse, doit être égal à 7.

Cela posé, comme l’équation est toujours la même, soit que l’on désigne par X la plus grande iwrtie, soit que x représente la plus petite, il s’ensuit qu’elle ne doit pas donner l’une des |>arties plutôt que l’autre; elle doit donc les donner toutes deux à la fuis. Ceci explique pourquoi l’équation admet deux solutions directes.

r.UAPITRB III.

Toutefois, pour que les deux valeurs de x soient rcoUcs, c’ost-à-dire pour que le problème soit possible, il faut que l'on ait y < ^ ■

Et, en elTet, quelles que soient les deux parties cherchées, on peut toujours désigner leur différence par rf; et comme leur somme est /j, on aura (4), pour les expressions de ces deux parties.

ËfToctuanl le produit de ces expressions, on trouve (5)

quantité essentiellement moindre que à moins que l'on ne sup-

pose <t=:o\ auquel cas les deux parties sont égales, et leur pnHluil

est 11 est donc absurde d’exiger que le produit, qu’on avait d’ailleurs

représenté par q, soit plus grand que

De lè résulte cette conséquence :

Le plus grand produit qu'on puisse obtenir en décomposant un nombre absolu en deux parties, et multipliant ces deux parties entre elles, est le carré de la moitié du nombre.

Soit, par exemple, 56 le nombre à partager.

On a

56 = 36 -I- ao, et 36 x »o = 7x0 ; 56=3i-(-a5, et 3ixa5 = 775; 56 = 29 37, et 29 X 27 = 783 ;

56 = 28-1-28, et 28x28 = 784.

On voit ici que, plus la dilTérenco des doux parties est petite, plus leur produit est grand; et ce produit atteint son maximum quand les doux (larlies sont égales.

Examen de quelques cas particuliers.

101. 1° Si lorsque q est négatif, c’est-à-dire lorsque l’équation est do do la {oTtaé x'-t- px = — q(p étant de signe quelconque), on suppose

q égal à ■^1 le radical ^ — '/ des deux valeurs dex devient nul, et

Digilized pyLCopgl

DISCUSSION Générale de l’équation du second degré. iSg

ces valeurs so réduisent l’une et l’autre à x = — On dit alors que les deux racines sont égales.

En effet, si l’on remonte à l’équation , et qu’on y remplace q par > elle devient

x’-4- px = —

d’où l’on tire

X* -H px = O, ou

Dans ce cas, lo premier membre est le produit de deux facteurs égaux. On peut donc dire aussi que les racines de l’équation sont égales, puisque alors les doux facteurs égalés à zéro donnent la même valeur pour x.

2® Si, dans l’équation générale x’-h px = on suppose q = o, les deux valeurs de x se réduisent à

x = — — -f--ï ou x = o, et à x = — — — —y ou X — — p.

Et , en effet , l’équation est alors de la forme x* -f- ;?x = o , ou x(x -f- p) = O, équation que l’on peut vérifier, soit en posant x = o, soit en posant x -h p = o, d’où x = — p.

3® Si , dans l’équation générale x’ -+- px = 7, on suppose p = o, il en en résulte

x’ = <7, d’où X = ± v/ÿ >

c’est-à-dire que, dans ce cas, les deux valeurs de x sont égales et de signes contraires^ réelles si q est positif, et imaginaires si q est négatif.

L’équation rentre dans la classe des équations à deux termes (93).

4° Supposons à la fois p = o, y = o; l’équation devient x* = o, et donne pour x deux valeurs nidlcs,

102. Il nous reste à examiner un cas singulier qui se rencontre souvent dans les applications ^ particulièrement dans la Géométrie analytique.

Pour cela, il faut reprendre l’éciuation ax* -¥-bx = c. Cette équation résolue donne

— b± yjb'^ -r- 4w "A. a

Supposons maintenant que, d’après une liypothèae particulière faite sur

1^0 THAPITHE III.

les données de la question, on ail a - o, l’expression de x devienl

X = 1 dou x=-i X — -•

La seconde valeur se présente sous la forme de \ infini, et (leul ôlre regardée comme une réponse, si toutefois la question proposée (leul admettre des solutions do cette sorte (72).

Quant à la première il faut tâcher de l’interpréter.

D’abord, si l’on remonte à l’équation, on voit que l’hypothèse « = o la réduit à fia: = c; d’où X = ^7 expression finie et déterminée qui doit

être, dans le cas actuel, regardée comme représentant la vraie valeur de - • Or cette valeur ^ peut être déduite do l’expression

1 1 j — b té -f- rtC ^

au moyen d’une transformation couvenable. A cet eflol, multiplions les deux termes de cotte expression par — 6 — -t- 4«c, elle devienl

lé — ( -t- 4 oc ) — 4 oc

ao( — b — vZé’-e 4oc) 2o( — — pé'-i- 4oc)

ou, supprimant le facteur %a commun aux deux termes,

— b — V' o 4oc

Maintenant l’hypothèse o = o, introduite dans celte dernière expression,

la réduit à ~ ou %i résultat trouvé ci-dessus.

— uii b

Cette transformation a eu pour objet do faire ressortir dans les deux termes le facteur o, dont la présence avait réduit l’expression à la

forme - (*).

Soit supposé à la fois o = o, b — o. Les deux valeurs de x prennent

l’une et l’autre la forme - •

Or si l’on remonte à l’équation olle-mémc, on reconiiail qu elle se réduit

(• ) t oii lu Note II il la flii du volume.

DISCUSSION GËNfiRALE DE l’ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. l4'

i c = O, o.t qu’ellu nt> pi'ut t'irc satisfaite par aucune valeur finie de x, tant que r n’est pas nu/.

Mais je dis que, dans ce cas, les deux valeurs de .r sont infinies.

En effet, la première,

— It -s- \J b'‘ -s- ^ac

SC réduisant d'abord à -yt par l'hypothèse o = o, devient - lorsqu'on y

joint l'hypothèse b = o.

Quant à la seconde,

^ 4 ne

ni

en faisant subir à cotte expression la même transformation qu'à la première, c’est-à-dire en multipliant les deux termes par — è -i- \/b^-h 4 ne, et supprimant ensuite le facteur 20 commun aux deux termes, on la change en celle-ci

— h -h v/è’-t- 4 oc

expression qui se réduit aussi à — y par la double hypothèse 0 = 0, h = O.

Enfin , lorsqu’on suppose on même temps a = o, b ~ o, c = o, les deux valeurs de x se présentent sous la forme sans qu'aucune transformation puisse conduire à des valeurs déterminées de x. En effet, l’équation, se réduisant alors à o = o, est tout à fait imléterminée.

C’est le seul cas d'indétermination que présente l’équation du second ilegré.

On peut parvenir aux conséquences précédentes au moyen d’une analyse beaucoup plus simple, qui aura d’ailleurs l’avantage de s’appliquer (var la suite à des équations d’un degré quelconque.

Reprenons l’équation ox’-h bx = c, et posons x = ^ ; il on résulte

OU bien c/’ — by — a — o

(en chassant les dénominateurs et transposant).

Cola posé, soit d'abord n = o; cette dernière équation devient

o’ — br = o.

l4? riUPITRK III.

tH donn<^ doux valours»

Substituant ces valeurs dans la relation x = on en déduit

Si, outre l’hypothèse «i = o, on a encore è = o, la valeur ^ devient elle-même - ■

Et, en effet, l'équation r.r’— ér — n = o se réduit, dans cette double hypothèse, à cjy’= o, équation dont les deux racines sont égales à zéro. Ainsi, les valeurs de x correspondantes sont toutes les deux infinies.

Quant au cas où l’on a en même temps <i = o, b = o, c = o, l’équation f r’ — bjr — a = o se réduit à o = o, comme l’équation «x’ -t- bx = c, et admet une infinité de valeurs f>our y, d’où il résulte une infinité de valeurs pour x.

Nous allons maintenant appliquer les principes do cette discussion générale à divers problèmes qui donneront lieu à toutes les circonstances qu’on peut rencontrer dans les problèmes du second degré.

103. Cinquième problème. — Trouver sur la ligne qui joint deux lumières A rt B d’intensités différentes , le point où elles éclairent également.

On suppose connu ce principe de Physique que :

Les intensités relatives d’une même lumière à deux distances différentes sont en raison inverse des carrés de ces distances.

Solution. — Nommons a la distance AB des deux lumières, b l’intensité de la lumière A à l'unité de distance, c l’intensité de la lumière B à la même distance.

Soit d’ailleurs C le point cherché; et faisons

AC = X, d’où BC = « — X.

Puisqu’on vertu du principe de Physique, l’intensité do A à la distance i étant b, son intensité relative aux distances a, 3, 4,- • • est -,i -i — ,

il s’ensuit qu’à la distance x, elle doit être exprimée par — • On a de

DISCUSSION DK QUELQUES PROILlülES DU SECOND DEGRE. (43 môme, pour l'intensilé relative de B à la distance a — x,

or, d’après l'énoncé, ces deux intensités dojient être étialcs. Ainsi, l'on a l'équation

d'où l’on tire, en développant et réduisant.

Donc

ou, réduisant.

{6 — c)j:’ — aaéx = — n’ii.

nb ± ^a’b’ — ti’b(b — r) - ’

n(b± \fbc) b — c

expression qui se simplifie encore si l’on observe ; i” Que b ± peut se mettre sous la forme

y/ft . y/Â ± y/Â . , ou y/î . ( y/é ± y/c ) i

%° Que é — c est égal à

Ainsi, en considérant d’abord le signe supérieur de l’expression ci-dessus, on a

n y/ï . ( y/Â -t- y/ë ) oy/7i

(y/ï -H \/ë) (y/î — y/f) y/é — yV

On obtient de môme, pour la seconde valeur,

n^b{\/b — y/c) ny/ï

Au reste, ces valeurs simplifiées pouvaient s’obtenir immédiatement rl’après l'équation proposée. En effet, l’équation

nlIXPITRE III.

Or. si l'on pxir.iil la racini- carri'“t' dos doux mombros, il viont

d’où, en chassant les dénomiqateurs et transposant, — xv^ = ±xv'^; donc x —

iV. — On a d'abord obtenu les valeurs sous une forme plus compliquée, parce que l’équation a été résolue luir la méthode générale , qui est moins simple que la précédente.

Discutons maintenant les deux valeurs simplifiées. On a

d'où l'on tire

uyfc

Soit d’abord b > c.

La première valeur de x, /b

a yjb /> -y- /

y est positive et plus petite que o;

car — est une fraction, .\insi cette valeur donne, pour le point éga-

lement éclairé, un point C situé entre les points A et B. On voit, on outre, que ce point est plus voisin de B que de A ; car, à cause de A > r, on a

y/b -y- /b, OU l/y- yjb -y- y/c, d’où —p-' > - 1

/b -y- yjc

et par conséquent ,

Cela doit être en effet, puisqu'on suppose l'intensité do A plus forte que celle de B.

La valeur de « — x correspondante, i est positive et plus pe-

yjb -y-/c

tilo que comme il est aisé de le vérifier.

La seconde valeur de x, ■ i l'sl encore positive, mais plus

DISCUSSION DE QUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRË. l45 grande que u ; car on a

Cette seconde valeur donne donc un second point C/ situé sur le prolongement de AB, et à droite des deux lumières.

On conçoit, en effet, que les deux lumières se répandant en tous sens, il doit y avoir sur le prolongement de AB un autre point également éclairé; et CO point doit être plus voisin de la lumière B, dont l’intensité est la moins forte.

On peut reconnaître h posteriori pourquoi ces deux valeurs sont liées par la même équation. Si, au lieu de prendre .\C pour l’inconnue r, on prend .\G', il en résulte

BC' — X — a',

ainsi, l’on a l’équation

Or, comme [a — x)’ est identique avec [a — or)’, la nouvelle équation est la même que l’équation déjà établie, qui, par conséquent, ne doit pas plutôt donner AC que AC'.

La seconde valeur de a-r--x^ est négative, ce qui doit être,

puisque l’on a x > ^; mais en changeant les signes de l’équation *

on trouve

n\Tc

et cette valeur de x — « représente la valeur absolue de BC'.

Soit b <C.c,

La première valeur de x, est toujours positive, mais plus

petite que puisque l’on a . V^-+-V^>y/ô-f-v/ô>2 y/b.

La valeur de « — x correspondante , ou grande que - •

y/ô -\-\je

est positive et plus

Aig. n.

i4b ciiArimF. III.

Ainsi, dans l'iiypotlièse que l’on considère, le point C, situé entre les fioints A et B, doit être plus voisin de A ((ue do B.

seconde voleur Ac X , -- " * ' ou -- est esscntielle-

sh~>jc

meni népative.

Pour l'interpréter, changeons x cd — x dans l'équation; elle devient

est esscntielle-

Or, O — X exprimant d'abord la distance de B au point cherché, n -+- x doit maintenant exprimer cette même distance; ce qui exige quo le point cherché soit à gauche de A, en C" par exemple. Et, en effet, puisque l'intensité do la lumière B est, par Iqqwthèse, plus forte que celle de x\, le second point cherché doit être plus voisin de A que de B.

La valeur den — x correspondante, ■ ou *’■ -.i est

vÆ-y/c V^-V^*

piositive; et cela tient à co que, x étant négatif, « — x exprime réellement une somme nrithmètique .

Soit b — c.

Les deux premières valeurs de x et do « — x se réduisent à ce qui

donne le milieu do AB pour le premier point également éclairé. Ce résultat est conforme à l'hypothèse.

Les doux autres valeurs se réduisent à ou deviennent infinies ;

c’est-iHÜre que le second point également éclairé est situé à une distance des points A et B plus grande qu’aucune quantité assignable. Ce résultat répond ]«rfaitemenl à rhvqiothèso présente; car, si l'on suppose que la différence b — c, sans être tout à fait nulle, soit extrêmement petite, le second point également éclairé existe, mais à une distance très-grande des

deux lumières : c’est ce qu'indique l'expression dont le déno-

/ 6 — fie

minateur est extrêmement petit par rapport au numérateur; et lorsqu'on suppose enfin h~c, ou \fb — yc = o, le ])oint chcrclié ne (leul plus exister, ou doit se trouver situé à une distance infinie.

Observons, en passant, que dans le cas de è = c, si l’on considérait les valeurs non simplifiées,

clonl le déno-