DISCUSSION DE QUELQUES PBOBLÈEES DU SECOND DEGRË

la première, qui correspond à x = deviendrait et la

b — yV “

seconde, (jui correspond à jr = deviendrait -■ Mais on n'ob-

\ib -f- “

tient la forme - qu’à cause de l'existence d'un facteur commun, \H> — \fc.

entre les deux termes do la valeur do x. [Voir ce qui a été dit aux n"* 73 et 102.)

Les deux termes de la première comprennent bien aussi le facteur commun y/è -H y/ë : mais, en le supprimant, on trouve

n \Œ \fi> — \Jc

expression qui se réduit encore à dans l’hypothèse de è =■ c .

Soic/ii b = c et n = O.

Le premier système des valeurs de j: et de « — x se réduit à o, et le second système à

Ce dernier caractère est ici le symbole de Vimléterminalhn ; car si l’on remonte à l’équation du problème [b — r ) x* — lubx = — n^b, elle se réduit, dans l'hypothèse actuelle, à o.x“— o.x = o, équation qui peut être satisfaite par un nombre quelconque mis pour x. Et, en effet, puisque les deux lumières ont la même intensité et sont placées au même poiut, clics doivent éclairer également chacun des points de la ligne AB.

La solution o que donne le premier système est une de ces solutions, en nombre infini, dont on vient do parler.

Soit, enfin, a = o, b étant différent de e.

Chacun des deux systèmes se réduit à o; ce qui prouve qu’il n'y a, dans ce cas, qu’un seul point également éclairé ; c'est celui où les deux lumières sont placées.

L’équation se réduit alors à (è — c).r’= o, et donne les deux valeurs égales,

La discussion précédente offre un nouvel exemple de la précision avec laquelle l’Algèbre répond à toutes les circonstances de l’énoncé d’un problème.

loi. Sixième problème. — Trouver deux nombres tels, que Indifférence de leurs produits par les nombres respectifs a et b soit égale à un

l48 CHAPITRE III.

nombre donné s, et ijiic la différence de leurs earrt-s soit égale à an autre nombre donné q.

Solution. — Soient x et / les nombres cherchas; on a les deux équations

n.e — by = s, x’ — /’= y.

De la première on lire x = , valeur qui, substituée dans la se-

conde, donne

donc

bs ± a \l.s‘ — 7 ( rt’ — é’ )

Ue]K)rlant celle valeur dans l'expression de x en /, on trouve

P hs db a \f s' — 7 ( «’ — é’ ) ”|

d’où

as ± b \/.v’ — 7 ( «’ — 6' )

(11 ne faut pas perdre de vue que, dans ces valeurs de / et do x, les deux signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs.)

Discussion. — Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que a, b, 7, s soient des nombres absolus : s’il en était autrement, certains termes des valeurs de x et de / changeraient de signe, et il faudrait opérer ces changements avant de discuter.

.'soit a'^ b, d’où a' — h' positif .

D’abord, pour que les deux valeurs de x et de / soient réelles, il faut que l’on ait

r/{a’—b’)<s\ d’où 7 <

Supposons celte dernière condition remplie, et déterminons les signes dont les deux systèmes do valeurs sont affectés.

Le premier système est

as -H b \is- — 7(«* — i’) bs -4- a\ls' — 7(«' — b‘ |

^ ~ lé — b' ^ J — n’— é' ‘

Les deux valeurs de ce système sont nécessairement positives, et for-

DISCUSSION DE QUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. l49 ment, par conséquent, une solution directe du |)roblomc, tel qu'il a été établi.

Le second sjrsième est

ers — h v'^.ï' — y ( «' — h') hs — et \ls^ — rj )

La valeur de x est essentiellement positive; car do « > i on lire

as'^bs, el à fortiori as'^Lfs‘— i/\td — b'),

puisque le radical est plus petit que s.

Quant à celle de elle peut être positive ou négative.

Pour qu'elle soit positive, il faut que l'on ait

bs > «y/l' — yf""— l>‘),

d'oCi, en élevant au carré,

Ps‘'p- a’s' — et'e/[n' — b’).

Ajoutons o^tj[ei‘ — 4’) aux deux membres, et retranebons-en b' s' ; il vient it'-q[n- — é’) > i’(«’ — 6’); d'où, en divisant par «’(«’— b').

Ainsi, pour que le second système soit encore une solution réelle et directe, il faut que l’on ait en même temps

té—(é

et 1>

c'est-à-dire que q soit compris entre les deux nombres ^ et — •

Observons, en passant, que la condition î > ^ pouvait être obtenue

plus facilement au moyen de l'équation en^'.

Celte équation étant {«’— b^))’' — ’sbsy =: i’— o’iy, on voit que, dans l’hypotbèsc de « > b, elle est do la forme x’ — px = — q,%\ l’on a «’</ > i’,

ou y > — ; et l’on sait (100) qu’alors les deux racines sont à la fois positives.

Si l’on avait, au contraire, y < auquel cas on aurait, à plus forte