CHAPITRE III

raison , 7 < —, — la valeur do.)- du second sj'stème serait négaiite; et

CO système (abstraction faite du signe de/) ne serait plus une solution de l'ènoncc tel qu’il a été établi, mais bien de celui dont les équations seraient

(■/ J- -+- hy = .V, x’ — /’ = 7,

et qui ne différerait du précédent qu'en ce que s exprimerait une somme au lieu d'H//e iliffrrcncc.

Ainsi, dans le cas de (7 > h, le problème admet ileux solutions réelles et directes toutes les fois que l'on a

.«* lé

et elle n’en admet qu’wne seule si l'on a 7 < — ,•

En prenant pour «, é, s des nombres absolus quelconques, pourvu toutefois que « soit > b, et choisissant ensuite pour 7 un nombre com-

pris entre les deux limites et ^ — r-,i on sera certain d’obtenir deux a‘ tr — b‘

solutions directes.

Soient, par exemple,

«=fi, è = 4, ■f=i5,

d'où l'on déduit

rt' ~ 36 ~ 4 ' a‘ — b' 20 ~ " 4

On pourra supposer 7 = 10, par exemple, et il viendra

et

et

Les solutions ^x = -^i / = et “ a demment deux solutions directes des équations

forment évi-

6x— 4/=i5, x’ — j’ = io.

Mais si l'on supposait a = 6, i = 4, j = i5, 7 = 5, il serait facile de reconnaître que, des deux systèmes, le premier seul donnerait une solution directe.

Digitiz*;

DISCUSSION DE QUELQUES PROBLillIES DU SECOND DEGEÊ. l5l

Ctfs pfirlicitliers qui se rap/mrlcnt à Vh)pothèse de a y- b.

Soit

Les doux systèmes do valeurs do x et de .)• so réduisent à

-' -^pzrip-

Ainsi, dans celte hypothèse, il n'y a qu’une solution du problème, et elle est directe.

Soit encore

q = d’où s' — fdq et s = n\fq\ lo premier système devient

b \! tdq td -i- b^ f- bs + a^b^q 7.«i f-

,p ip ~ „i V ^ ~ /.J ~ -,j te- y'i >

«’ — Id td - b‘

le second

r = ^ bs-nsUdq ^ P

— y I < d ~ „ï AJ

Et, en oiïet, supposons i’= a'q dans l’èiiuation en /; elle se réduit à {td — b^)y^ — ’^bsj- = o;

d'où l'on déduit

ihs iLtib r-

Reportons chacune de ces valeurs dans x =

br

1/- cd -h é’

&it maint Clin lit a <C b \ d'oii td — b^ négatif.

Les expressions do j: et de^ lieuvent se mctlro sous la forme

' — as=pb ^s‘‘ -s- qiid— a‘)

— h.s' rp a \/.v’ -h f/ ( /-»’ — rt* )

CBAPITRE III.

iSa

Cos valeurs sont toujours rielles, puisque la quantité sous le radical est essentiellement positive.

Quant aux signes, la première valeur de x est essentiellement négative, et il en est de même de la première valeur de y. Ainsi ces valeurs, abstraction faite de leur signe, rè|>ondcnt, non aux équations proposées, mais aux équations hy — ux = s, x’ — y^=q, dans la première desquelles t’nnlrc i/c la dijfêrcncc entre les pmduits ax et by est rrni'crsé.

La second!' valeur de x est nécessairement positive; car de i > a on déduit b ^s’ ■+- <j[b' — puistiuc le radical est numériquement

plus grand (|ue s.

Mais la seconde valeur de y n’est |uis toujours positive. Pour qu'elle le soit, il faut qu’on ait la relation

a sjs' -t- q{b' — «') > bs,

d'où, en élevant au carré,

a^s' -h a‘‘ij[b^ — n’) > ù’j*,

ou, transposant a' s',

idq(b' — «’) > (i’ — «^4*, et divisant j»ar — «’),

En donnant ù a, b, s, q des valeurs particulières, telles que l'on ait ù>n, et le problème sera encore susceptible d'une solution

flireete,

Soit, enfin, n—b \ d’où n’ — b‘‘ — o.

Le premier système de valeurs devient, dans cette hypothèse.

et le second

•sas 2 as

Mais si l'on remonte à l'équation {a‘‘ — b^)y^ — ibsy~ s^ ~ ei^q, qui, lorsqu’on fait a = 4, se réduit à — sasy = s' — a^q, on on déduit

THANSFOUMATIONS DES INÉCAUTÊS.

et l'expression de x cn.r, .r= —-y— donne

•tus

On parviendrait aux mêmes résultats en imitant l'un des procédés suivis (102), c’est-à-dire en faisant, dans l'équation en j-, j = ou bien, en mettant en évidence le facteur commun a' — i’ dans celles des expressions de / et de x, qui se sont réduites à la forme

Pour que la solution x = , y — ■ '' soit ilirectc, il faut

■ms -tas

qu on ait y >

Des transfunnations qu'on peut faire subir aux inégalités.

103. Dans le cours de la discussion des deux problèmes précédents, nous avons eu occasion de poser plusieurs inégalités sur les<iuelles ont été exécutées des transformations analogues à celles qu’on exécute sur les égalités. C’est , en effet, ce qu’on est souvent obligé de faire , lorsqu’en discutant un problème, on veut établir entre les données les relations nécessaires pour que le problème soit susceptible d’une solution directe ou du moins réelle, et fixer, à l’aide de ces relations, les limites entre lesquelles doivent se trouver les valeurs particulières de certaines données pour que l’énoncé tombe dans telle ou telle circonstance. Or, quoique les principes établis pour les équations soient en général applicables aux inégalités, il y a néanmoins quelques exceptions dont il est nécessaire de parler, afin de mettre les comnençants en garde contre des erreurs qu’ils leurraient commettre en faisant usage des signes d’inégalités. Ces exceptions proviennent de l’introduction des expressions négatives comme quantités, dans les calculs.

Pour plus de clarté, nous allons passer en revue les diverses transformations qu’il est permis de faire subir aux inégalités, en ayant soin do faire ressortir en même temps les transformations 'dont l’emploi doit êtrt' interdit.

Transformation par addition et socstraction. — On peut, sans aucune exeeption, ajouter aux deux membres tl’unc inégalité quelconque, ou en retrancher une même quantité ; l’inégalité subsiste toujours dans le même sens.

i54 uiAnrRE III.

■Vinsi, scit 8 > 3 ; on a encore

8 5 > 3 -t- i, et 8 — 5 > 3 — 5.

Soit do môme — 3 < — a , on a encore

— 3 + G< — a -1-6, et — 3 — 6< — i — 6.

Cela résulte des principes établis au n" 63.

La transformation précédente sert, comme dans les équations, à faire passer certains termes d'un membre de l’inégalité dans l'autre.

Soit, [wr exemple, l'inégalité <i’ -t- 4’> 3i’— i/i’; il en résulte

o’ -f- a«’ > 3A’ — i’ ou 3«’> a//’.

On peut, .fans f.rrrpthn, ajouter membre à membre Heux nu plusieurs inégalités établies i/iins te même sens; on obtient ainsi une inégalité rie meme sens que les proposées.

Ainsi, rt > /', c > <t, e >/, . . . donnent

fl -I- c -t- e -H . . . y>- h -i- rt -i- f -h ... .

Mais il n’en est />as toujours tic même si f on soustrait membre à membre deux ou plusieurs inégalités établies dans le mé'me sens.

Soient les inégalités 4<7eta<3;ona bien

4 — a<7— 3 ou a<4-

Mais soient les inégalités g < lo, et 0 < 8 ; il vient, par la soustraction, g — G >10 — 8 ou 3 > a.

On doit donc éviter autant que possible cette transformation; ou, lorsqu'on l’emploie, s’assurer s'il y a inégalité dans le résultat, et dans quel sons est celle-ci.

Tb\.nspobmation PAU multiplication et niviSfON. — On peut multii>lier les deux membres d’une inégalité par un nombre positif ou absolu : il y a inégalité rlc meme sens dans les résultats.

Ainsi de fl < é, on lire 3a > 3é; et de — n <—'b, on déduit

— 3rt < 3/i.

Ce principe sert à faire disparaître les dénominateurs.

Que l’on ail rincgalité — î on en déduit, en multiplianl