CHAPITRE III

extraire la racine carrée ries deux membres d'une inégalité entre des nombres absolus ; et l'inégalité subsiste, dans le meme sens , entre les valeurs numérii/ucs de ces racines carrées.

Observons d’abord (lu'on no peut proposer d'extraire la racine carrée des deux membres d'une inégalité, qu’nutant iju'ils sont essentiellement /Mtsitifs; car, autrement, on serait conduit à des ex/jressions imaginaires qu'on ne pourrait comparer.

Mais que l'on ait g < a5, on en déduit y/g ou 3 < ou 5.

Do rt’ > on déduit a > b, si a et b expriment des nombres absolus.

De même, l’inégalité «’> (c — b)' donne n> c — 6, si l'on suppose déjà c plus grand que /> ; et n > 6 — c, si, au contraire, b est plus grand que c.

En UH mot, lorsque les deux membres d’une inégalité sont composés de termes additifs et de termes soustractifs , on doit acoir soin d’écrire, pour la racine carrée de chaque membre , un pol/nàme dans lequel les soustractions soient possibles.

■lOC. Voici les énonces de nouveaux problèmes :

Septième problème. — Deux marchands vendent chacun d’une même étoffe , à des prix différents ; le second vend 3 mètres de plus que le premier, et ils en retirent ensemble 35 écus de 5 francs. Le premier dit au second ; J 'aurais retiré de votre étoffe i4 <’c"-ï ; / 'autre répond : Et moi j’aurais retiré de la v6tre I2 écus ÿ. — Combien de mètres ont-ils vendu clutcun?

Rép. i" marchand x = i5; a' marchand y = i8, ou bien x = 5,

Huitième problème. — Un négociant doit un billet de 6240 francs payable dans 8 mois, et un autre billet de 7632 francs payable dans g mois. Il retire ces deux billets , et remet à leur place un billet de l4 i56 francs payable dans un an. — On demande le taux de l’intérêt.

Rép. 10'', 33 pour 100 par an.

On suppose ici que chacun des trois billets ait été réduit à sa véritable valeur [voy. drithmétique (268)] à l'instant même do l'écliange des billets; car il est bon d'observer que la question peut être traitée de diverses manières, et donne lieu à des résultats tout à fait différents, suivant les épo([ues auxquelles on ramène les valeurs des billets.

Neuvième problème. — Une personne possède i^ooo francs, qu’elle /lartage en deux portions placées à intérêt, de manière qu’elle en retire des revenus égaux. Si elle faisait valoir la première portion sur le même

<îl■ESTIO^S SUR LES MAUEUUS ET LES MIMMUMS. l57

picii que ta sccomic, elle retirerait pour cette partie 36o fmnes il’intére't; et sf elle faisait valoir la seeonde portion au même taux que la première, elle retirerait 4go francs d’intérêt. — On demande les deux taux d’intérêt. (Rép. 7 et 6.) '

(L’fqualion de ce problème peut être résolue plus simplement que par la méthode générale.)

Dixiéme problème. — Trouver deux rectangles dont on connah ta somme </ des surfaces, la somme a des bases, et dont on connaît tes surfaces P et p', quand à la base de chacun d'eux on tlonne la hauteur de t ’ autre, c’est-à-dire quand on alterne les hauteurs.

Rép. Base du premier, x =

aj^p -*-q± \Jq'- — 4/)//)

(Résoudre et discuter ce problème.)

Onzième problème. — Partager deu.z nombres a et h, l'un et l’autre en deux /tartirs, de manière que le produit d’une partir de a par une partie de b soit égal à un nombre donné p, et que te produit des parties de a et b soit aussi égal à un nombre donné p'. — Résoudre et discuter ce problème.

Douzième problème. — Trouver un nombre tel, que son carré soit au produit des dijférenccs entre ce nombre et deux autres nombres donnés a et b, dans un rap/iort connu, p'.q. — Résoudre et discuter ce problème.

Nous recommandons ce dernier problème aux élèves, non-seulement parce que sa discussion offre de nouvelles applications des principes sur les inégalités, mais encore parce que les formules auxiiuelles on |>arvient renferment implicitement les solutions d’une foule do questions analogues, dont les énoncés ne diffèrent que par le sens do certaines conditions.

Questions sur les ma.ximums et les minimums. — Propriétés des trinômes du second degré,

107. Tl est une certaine classe de problèmes ([u’on rcncontro surtout dans la Géométrie analytique, et qu'il est souvent po.ssible de résoudre à l'aide des théories précédentes. Ce sont ceux qui ont pour objet de déterminer ta plus grande ou la plus petite valeur que puisse recevoir le résultat de certaines opérations arithmétiques effectuées sur des nombres.

Soit proposée cette première question : Partager un nombre donne in en deux parties dont le produit soit le plus grand /sossibte, ou un maximum.

CHAriTHE III.

Désignons par a- l'une des parties, l’autre sera an — jt, et leur produit

X (ao — x).

Si l'on donne à x différentes valeurs, ce produit passera par différents étals lie gnim/eiir; et il s'agit d'assigner à x la valeur qui doit rendre ce produit /<■ plus graml possible.

Désignons i>ar .?' ce plus grand produit dont la valeur est inconnue |K>ur le moment; on aura, d'après l'énoncé, l'équation

X (an — x) = J'.

Regardant^' commo connu, et tirant do cette équation la valeur de x, on trouve

Or ce résultat fait voir que x no peut être réel qu’aulant que l'on aura X < ou, fout au plus, X =

D'où l'on |ieut conclure que la plus grande valeur qu’on puisse donner à Xt c'est-à-dire au produit des deux parties, est

Mais si l'on fait x = >1 en résulte x~ a.

Donc, /xmr obtenir le plus grand produit, il faut diviser le nombre donné an en deux parties égales; et le maximum qu'on obtient ainsi est le carré de la moitié du nombre; résultat qtie l’on a déjà trouvé par un autre moyen (100).

Solution plus simple. — Appelons ax la différepee qui existe entre les deux parties; puisque leur somme est déjà exprimée par an, la plus grande

de ces parties sera (4) représentée par ou n -t- x, la plus pe-

tite par n — x, et l’on aura pour l'é<iuation

(rt4-x)(n-.r) =/,

ou, effectuant les calculs,

n' — ,r’=r; d’où x = ± \/n‘ — .

Pour que cette valeur de x soit réelle, il faut que^ soit tout au plus égal à n’ ; or, en faisant x = on obtient x = o, ce qui prouve que les deux /xirties doivent être égales.

Ce moyen de résolution a l’avantage de conduire à une équation du second degré à deux termes.