X -h y/'/rt — X* = y

Pour résoudre cette équation, il faut chasser le radical. On a d’abord, en transposant lo terme x dans le second membre,

d’où, élevant au carré,

ia — .r’ = r’ — ixy -h x’, ou, ordonnant par rapport à .r,

2x’ — 2xr — 7.a — 1’,

équation d’où l’on tire

uu, simplifiant,

CUAPITRE III.

Pour que les deux valeurs de x soient réelles, il faut quo^^ soit tout au plus égal à 4«-

Donc 2 est la plus gramle valeur que puisse recevoir v.

Si l’on fait J = 2 /a, il en résulte j: = v'n ; d’où l’on déduit

= n et ia — .e' — a.

Ainsi, le nombre donné ia doit rire dMsê en deux parties égales pour tpic la somme des racines carrées de ces deux parties soit un maximum.

Ce maximum est d’ailleurs égal à 2

Soit, par exemple, 72 le nombre proposé, on a

-2 = 3G -h 36; d’où = '*■

C’est le maximum de valeur qu’on puisse obtenir pour la somme des racines carrées des deux parties de 72.

Et, en effet, décomposons 72 en 64 + 8 ; on a

v'G4 = 8 et /8 = 2 -t- une fract.;

d’où

Soit encore 72 =

-i- y/s z= loH- une fract.

4g -1- 23 ; on a

donc

y'4g =7, = 4 + une fract.;

y/^ 4- y/â3 =11-1- une fract.

, „ néx' -(-//’

Considérons, pour troisième exemple, l expression "i 'luil

s'agit de rendre un minimum {m étant supposé r/).

Posons

néx- + n'__

( ni‘ — n‘)x

on en déduit

X = ± y/( n‘ tf - ïtiété.

2/h' •xnr"

Or, pour que les deux valeurs do x correspondant à une valeur de y

QUESTIONS SUR LES UAXniUaS ET LES UIMMD9S. l6t

soient réelles, U faut évidemment que — n’)’/’ soit trii moins égal à 4/H’n', et, par conséquent, que;»' soit au moins égal a •

Ainsi, est le minimum des valeurs qu’on puisse donner à

nr — «•

Si l’on fait/= dans l’expression de x, le radical disparait,

et la valeur de x devient

nr — rr imn n ~~ ■j.m^ nr — 11^ ~ m

Cette valeur, x = est donc celle qui rend l’expression proposée un

minimum, lequel est égal à

UO. Ces exemples sulBsent pour mettre au fait de la marche qu'il faut suivre dans 1a résolution de ces sortes de questions.

jtprès avoir forme l’expression algébrique de la quantité susceptible de devenir, soit un maximum, soit un minimum, on l’égole à une lettre quelconque y. Si l’équation que l’on obtient ainsi est du seeond degré en X [x désignant la quantité variable qui entre dans l’expression algébrique), on la résout par rapjxirt à x; puis on égale à zéro la quantité soumise an radical, et l'on tire de cette dernière équation une valeur de y qui représente alors le maximum ou le minimum cherché. Substituant enfin eette valeur de y dans l’expression de x, on obtient la valeur de x propre à satisfaire l'énoneé.

A'. /?. — S’il arrivait que la quantité sous le radical rcslAt positive, quelle que fût la valeur de y, on en conclurait que l’expression pm/msée peut jxtsser par tous les états de grandeur possibles; en d’autres termes, qu’elle a, en nombres absolus, l’infini pour maximum et zéro pour minimum ; ou, plus généralement, qu’elle peut passer par tous les états, depuis Y infini négatif jusqu’à Xinfùn positif.

Soit, pour nouvel exemple, l’expression

ü (ax -H i)

On demande si cotte expression est susceptible d’un maximum ou d’un minimum.

Posons

6 jax -H 1) ~

Atg. B. 1 1

Dioitized bv

cKAmRe III.

Il en résulte l'équation

d'où l'on déduit

Or, quelque valeur qu’on donne à j-, la quantité sous le radical sera toujours positive. Ainsi .r, ou l'expression proposée, peut passer par tous

les étals de prandcur depuis — » jusqu’à

Dans les exemples préaMents, la quantité soumise au radical de la valeur de .r ne renfermait que deux parties, l’une affectée de / ou do ^ , l’autre toute connue; et il a été facile d’obtenir le ma.rim,w, ou le miim dont la fonction était' susceptible. Mais il peut arriver que celte quantité soit un trinôme du second degré do la forme rnf’ ■+■ ny -+- p Dans ce cas, la question devient plus difficile; et pour mettre en état de la résoudre complètement, il est nécessaire de démontrer plusieurs propriétés relatives a ces trinômes.

Propriétés tles trinômes Ha second degré.

111. On appelle trinôme du second degré toute expression do la forme mf-s-ny-t-p (/«, n et p étant des quantités connues do signes quelconques, y désignant d’ailleurs une variable, c’est-à-dire une quantité que l’on fait passer i>ar différents étals de grandeur).

Ainsi

3 5 J 7 — 9 r’ -I- V -t- 5 ou — ey— 3/ -I- la,

[a — b s- îc)/ -H ib'y~inc^ -t- ^a^'b

sont dits des trinômes du second degré en y.

Si l’on égale à zéro le trinôme ni/’ ny p, ce qui donne

mf+nr-^-p^o, d’où r = - ± - 4 >np,

on peut faire trois hypothèses principales par rapport à la nature des valeurs do y qu’on vient d’obtenir ;

les deux racines sont alors réelles et inégales;

auquel cas les deux racines sont réelles et égales;

Gop;;lt

PBOPBIÉTÉS DES TBIÎIÔMES DU SECOND DEGBË.

les deux racines sont, dans ce cas, iiimginaires.

Cela posé, voici les propriétés relatives à ces différents cas :

Premivrement. — Toutes les fois qu’un trinûmo du second degré est tel, qu’en l’égalant à zéro et résolvant l’équation qui cn'résultc on obtient deux racines réelles et iiiégnlcs (de signes quelconques), imite quantité (positive ou négative) comprise entre les ileiuc racines, substituée à in place de Y clans le trinôme, donne nécessairement un résultat de signe contraire à celui dont le coefficient de y' est office té; mais toute quantité non comprise entre les deux racines, et différente de chacune d’elles, substituée à la place de y, donne un résultat de meme signe que le coefficient de y'.

En effet, soit l’équation

my^ ny -hp o,

et, pour fixer les idées, représentons par r' la racine qui se rapproche le plus de Xinfni négatif, c’est-à-dire de la plus petite racine, et par y" l’autre racine.

Cela posé, le premier membre peut (97) se mettre sous la forme m{y — y') {y —y’); ainsi l’on a l’identité

my^-c-nys-p = m {y— y') (.v — r');

ce qui signifie (42) que cette égalité doit exister, quelque valeur qu’on donne à y.

Soit maintenant * une quantité comprise entre y' et y’, c’est-à-dire telle que l’on ait

»>y', mais a<y';

il en résulte

a— j’>o, mais a— 7”<o;

d’où l’on voit que les facteurs x — y', * — y’ sont de signes contraires : ainsi leur produit (x — y') (x — r") est négatif.

Donc m ( x — r ') ( x — /') ou m x’ «x’ -i- /u est do signe contraire à celui dont m est affecté.

Soit, au contraire,

X </' et fortiori a <iy';

d’où l’on déduit

X— ^'<0 et X— /"<o.

|64 CUAPITRB III.

Les deux facteurs sont de même signe; donc (« — .r') ( « — .v") est positif; i>ar conséquent

m[x — — ou mx'+na-^p

est de même signe que «/.

Même raisonnement pour le cas de et h fortwri

Deuxirmement . — Si les deux racines sont réelles et égales, loiitc Huantitè ilijfcrcnte de celle qui rêiliiit le trinôme à zéro, subslituce dans ce trinôme, donne un résidlnt de même signe que le coefficient de En effet, puisque les deux racines sont égales, on a la relation

■ ^mp = O, d'où l'on tire p =

dés lors le trinôme m > ’ + ny + p ou m { r’ -i- — -t- — ) de> ient

[ , n n’ \ [ Il \-

m H >• -t- — ; 1 ou w 1 v -4 1 •

\ m- iin'J \’ ■jLin/

Or il est évident que, pour toute valeur de y autre que > la quam-

sera positive.

Ainsi, m ^ "X P signe de m. c. q. f. d.

Troisièmement. — Enfin , si les doux racines sont imaginaires , toute quantité réelle, positive ou négative, substituée à la place de y, donnera un résultat de même signe que le coefficient de y'.

Car, puisque les deux racines sont imaginaires, on a la relation

n’ — 4 nip < o, d'où ^mp > n',

ou bien (103), divisant par 4'"’,

£-> JîL.

/« 4 ni‘

Soit donc £ = -I- A’ (4’ désignant ur.o quantité essentiellement tn 4 •

positive); il en résulte

mf^ny^p= m ( r’ + £ jr + ^ (r -h ^ „,/ »,

APPLICATION DES PROPHlETfiS PRÉCÉDENTES. l65

quanlité qui reslera toujours de même signe que m, quelque valeur réelle ijue l'on y substitue pour y.

112. La seconde propriété nous conduit naturellement à parler d'une proposition qui est d'un fréquent usage dans l'analyse.

Toutes les fois qu'un trinôme du second degré, ny -h p, est un

carré parfait, on a entre ses coefficients la relation

n’ — 4 mp = O.

En effet, si ce trinôme est un carré parfait et de la forme (m'y -s- n'Y, les deux racines de l’équation my' -s- ny -s- p = o doivent être égales. Or, pour qu'elles soient égales, il faut que la quantité sous le radical, ou n' — 4 't>Pt soit nulle. c. Q. F. D.

Réciproquement . — Si l’on a entre les coefficienis la relation

le trinôme est un carré parfait; car on déduit de cette relation p=z^f-\ d’où my'' ns- -s- p — ms'^ -s- nr -s- ^ — ( y \fîîi s-

113. Voyons actuellement l'usage de ces propriétés, dans la résolution des questions sur les maximums et minimums.

Soit proposé de déterminer si, lorsqu'on fait varier x, la. fonction

peut passer par tous les états de grandeur.

Posons

r* — a.r J- SI Ox— “m ~

d’où

x’ — -I- i)x = — SI — i4/.

Il en résulte

X = 3/ -I- I ± v^9,v’ — 8/ — ao.

Pour que x soit réel, il faut que gj’— iy — ao soit positif. Or, si l’on égale celte quantité à zéro, il vient

d’où J" = a

et y = —

lO

Ces deux valeurs de / étant réelles, il suit do la première des propriétés ci^lessus que, dès qu’on donnera à y des valeurs comprises

entre — et a, telles que — i , o, i , la valeur du trinôme sera négative.

i66 chàpitbe III.

puisque le coefficient do j ’ est positif. Mais on donnant à j des valeurs

non comprises entre

et a , comme — a, — 3,..., 3, 4,..., on ob-

tiendra un résultat positif.

On voit donc, que a est, en nombres absolus, le minimum des valeurs que doit recevoir pour que x soit réel ; et si, dans l'expression de x ci-dessus, on ftiit^ = a, le radical disi>arail, et l’on trouve a: = 7.

En cfTet, l'expression devient, lorsqu’on y pose x = 7,

-f- ai 50 il “â8~

La racine y = — ~ est en nombres m’galifs, le ma’ximum des \ aleurs que y pi'ut roce^•oir; et la valeur de x correspondant à ce maximum est

A'. B. — Lorsque, x étant exprime en y, le coefficient de^r’ sous le radical est négatif, et que les deux valeurs de y, déduites du trinôme égalé à zéro, sont, l’une positive, l'autre négative, la valeur positire est un maximum, puisijuc toute valeur plus grande donnerait un résultat de même signe que le coefficient de y’, et, )iar conséquent, négatif; la valeur négative est un minimum parmi les valeurs négatives que r peut recevoir.

Nous laissons aux élèves le soin d’examiner les autres circonstances qui peuvent se présenter ; par exemple, le cas où, le coefficient de,r’ étant positif, les deux valeurs do.r sont positives; celui où, ce même coefficient étant positif, les deux valeurs sont imaginaires. Ils pourront, d’ailleurs, s’exercer sur les questions suivantes :

1“ Partager un nombre ilonné ‘i.a en lieux parties, de manière que lu somme des quotients qu’on obtient, quand on divise mutuellement ees deux parties l’une par l’autre, soit un minimum.

(Rép. Les deux parties doivent être égales, et le minimum est 2.)

2° Soient a et b deux nombres absolus; on demande /xnir x une valeur

telle, que l’expression

soit un maximum.

'inb , , la -y- bf

Kép. X — et le maximum correspondant est y = •

3° Soient a et b deux nombres absolus; on demande pour x une va-

leur telle, que l’expression

soit un minimum.

PBOBLfcMES DU SECO.ND DEGRE à. PLUSIEURS INCONNUES. 167 Rép. On trouve ici deux valeurs, savoir :

X = \/7ïF>, à laquelle correspond un minimum / = (v/7/ -f- v^)’,

ei

ar = — à laquelle correspond un mojcimum

§ ni. — Des éouations et problèmes du second degré a deux ou PLUSIEURS inconnues. — NOUVELLES OPÉRATIONS SUR LES R,VD1CAUX DU SECO.ND DEGRÉ, RÉELS OU IMAGINAIRES.

H4. Nous ne pouvons donner ici une théorie complète; car nous ferons voir bientôt que la résolution de deux équations du second degré, à deux inconnues, dé|K'nd, on général, de la résolution d’une équation du quatrième degré à une seule inconnue; mais nous allons nous proposer quelques questions qui ne dépendent, en dernière analyse, que de la résolution d'une équation du second degré à une inconnue.

Premier problème. — Trtniwr tieux nombres tels, r/ue la somme de leurs prmluils par les nombres respectifs a et b soit égale à is et que leur produit soit égal h p.

Soient x et y les deux nombres cherchés ; on a les équations ax 4- by — -is, xy — p.

De la première, on tire

os — ax

d’où, substituant dans la seconde et réduisant,

ax’ — USX = — bp.

Donc

X = ^ ± ^ j/.v’ — ahp , et, par conséquent, ^ ^ fs’ — âbp.

Comme a, b,p sont supposés ici des nombres absolus, le problème est susceptible de deux solutions directes, car* est évidemment > fs’ — abp. Mais, pour qu’elles soient réelles, on doit avoir s’ > ou = abp.

Soit a = i = i ; les valeurs de x et de y sc réduisent à

X = r ± ^s’ — p et y = s^: \'s‘ — p.

D’où l'on voit que les deux valeurs de / sont égales à celles de x prises

l68 CHAPITRE III.

dans un ordre inverse; ce qui veut dire que, si r-+- — représente la

valeur de s — p représente la valeur correspondante de y, et réciproquement.

On interprète cette circonstance en observant que les équations se réduisent, dans ce cas particulier, i, x -r- y = xy = p \ alors la question revient à trouver deux nombres dont la somme soit -xs et dont le pnxluit soit p \ ou, en d'autres termes, à partager un nombre xs en deux parties dont le produit soit égal à un nombre donné p.

Or on a vu (100) que les deux parties sont nécessairement liées entre elles par une même équation du second degré

— xsx -h p =z a,

<pti a, pour coefficient du second terme, la somme 2S prise en signe contraire, et /unir dernier terme le produit p des deux parties.

US. Second problème. — Trouver quatre nombres en proportion géométrique, connaissant ta somme 2 s des extrêmes, la somme 2 s' des moyens et la somme 4 c’ des carrés.

Dé'signons par a, x,y, z, les quatre termes de la proportion; on a, pour les quatre équations du problème, en vertu des données de la propriété fondamentale des proportions,

U -s- Z = 2s, x-hy=2s', uz=xy, a’ -i- x’ -i- -t- z’= 4 c’.

Au premier abord, il peut paraître diflicile de trouver les valeurs des inconnues; mais, à l'aide d'une inconnue auxiliaire, on parvient à les déterminer simplement.

En effet, soit p le produit inconnu des extrêmes ou des moyens, on a :

1° Les équations a -»- z = 2s, uz = p, qui donnent

a = f y/f' — p , Z — s — yép — p

(voir le problème pré-cédent);

2° Les équations .r -*-/ = 2.1', xy = p, qui donnent

X = s'— — p , y=s'— vé'’"— /'•

On voit donc déjà (juc la détermination des quatre inconnues ne dépend plus que de celle du produit p.

Or, si l’on substitue ces valeurs de a, x,y,z, dans la dernière des équations du problème, il vient

-(- [s'+y's'’—pŸ-v (,ï'— y/.’.'-—pY=z 4r’,