r’ — 4a; 4- J"’ — xy — 5y 4- G = o, yxy — ix -t-x = o
sont des équations du second degré.
Il suit de là que toute équation du second degré à deux inconnues est de la forme
’ 4- bxx 4- ex' 4- dy -i-fx 4- g = o
(n,b,e,... représentant des quantités connues, soit numériques, soit algébriques).
(•) Il «mrnt, au surplus, si l'ûqiialioii a ilrs dénomiuaUuirs, que x el y n’eu. Ireiit pas dans ces dénominateurs, (f-'oir la remarque du 11° 02.)
CIIAriTRB III.
Soient donc proposées les équations
ay' bjcy + ex' -+- r/>- -f- f x f; = o,
«'r’+ b'xr -h c'.r' -h tl'r -t-fx -t- g' = o.
On peut ordonner ces deux équations par rapport à j ; et il vient ex' -t- (br -+■/ ) X -i- frr' -y fly g = o, f ' J-’ -I- ( b' y -f-/' ) .r d'y -y ^ =o.
Cela posé, si les deux coefficients de x’ étaient les mêmes dans les doux équations, on obtiendrait, en retranchant ces deux équations l'une do l'autre, une équation du premier do"ré en x qui pourrait être substituée à l'une des équations pro()Osées; de cette équation l'on tirerait la valeur de x en j, et, reportant cette valeur dans une dos équations proposi'-es, on [larvicndrait à une équation qui ne renfermerait plus que l'inconnue
Or, si l'on multiplie la première étpiation par r' et la seconde par c, il vient
rc’x' (by -t-/ )e'x-t- {ny' ■+ d r -h g )c'= o, rc'x' -t- [b'y -t- /')ex {a'y' -+• d'y g') c = o,
équations qui peuvent remplacer les précédentes, et dans lesquelles le coefficient de x' est le même.
En soustrayant la seconde de la première, on trouve
[^[br'— eb']y-t- ft' — rf']x-t-{ae' — c(i’)y'-^ (de' — >'</'))'-*- g'"' — cg'= o, é<|uation qui donne
{en' — nr') r’-t- (rd'— dr')y-f- rg' — gr'
~ Çbc' — rb' ) y Je' — r/ '
Cette expression de x, substituée dans l'une des équations proposées, donnerait une équation finale en y.
Mais, sans effectuer celte substitution, qui conduirait à un résultat assez compli(]ué. il est facile de reconnaître que l'équation en ,v doit être, en général, du quatrième degré, car le numérateur de l'expression de x étant de la forme my'-<- ny p, son carré, ou l'expression de j ’, est du quatrième degré; or ce carré forme l'une des pirties du résultat de la substitution.
Donc, en général, la résolution de deux équations du second degré n deux incunnnes dépend de celle d'une équation du quatrième degré à une seule inconnue.
117. L est une classe d'équations du quatrième degré dont on peut ramener la résolution à colle des équations du second degré : ce sont les
Ë(jUATlUNS TRINÔMES DU QUATRitHE DEGRÉ. I7I
équations de la forme
px^-i- <) — o.
Ou les appelle équations trinômes ou bicarrées , parce qu’elles ne contiennent que trois es|)èces do termes : des termes en xé, des termes en j’, et des termes tout connus.
Pour résoudre cette équation, posons = elle devient .v’ -t- pr -+- y = O,
d’où l’on tire
Mais l’équation 3? = y donne
.r = ± \[)' ; donc ,r = ± y/ — i- ±
On rceonnait, par le fait mémo do la résolution de l’équation, que l’inconnue a quatre valeurs, puisque chacun des signes et — qui affectent le premier radical peut être successivement combiné avec chacun des deux signes qui affectent le second; mais ecs valeurs sont égales et de signes contraires deux: à deux.
Soit, par exemple, l’équation
x' — aSx’ = — 144 ;
si l’on pose = il vient
r’— a5 r = — i44> d’où l’on tire )■ = 16, = 9,
Substituant ces valeurs dans l’équation x’=i , on obtient
i"j:’=i6, d’où j-=±4; a" 9, d’où x = ± 3.
Ainsi, les quatre valeurs sont -t- 4, — 4i -t- 3 et — 3.
Soit encore l’équation
Posons = l’équation devient
— 7j=8, d’où j'=8, et r= — 1.
Donc ;
1” J"’ = 8, et JT = ± a
a° X* = — I , et X = ± ;
les deux dernières valeurs de x sont imaginaires.
1^2 rUAl'ITRE III.
Soit lï’quation algébrique
j:' — [ibc -t- 4«’) = — é’t*.
Posons Jc' =x\ l'équation devient — {TLOc-t- 4
d'où l'on déduit
• X — hc in' ± la }/bc -t- a‘ , et, par conséquent,
X = ± yjbc -i- •xa'‘±iti v'TïëTT?.
118. La résolution de l'équation trinôme du quatrième degré donne naissance à une nouvelle espèce d'opération , savoir : l'extraction de la racine carrée d'une t^uantité tic la forme A , A et B désignant des quantités commensurables de signes quelconques.
Soit d'abord à former le carré do l’expression 3 ± j/5.
On a (l'J)
donc, réciproquement,
De même,
(v/7±/ÏT)’=7±2\/^-i-ii =i8±-2v/t7; donc, réciproquement,
v ' 1 8 ± 2 = ^ ± /TT .
D'où l'on voit qu'une expression telle que ± y/B peut quelquefois être ramenée à la forme A'± v^', ou y/Â' ± v^'; et lorsque cette transformation est possible, il est important de l’effectuer, puisqu'on n’a plus qu’une on deux racines carrées simples à extraire, tandis que l’expression
v/A ± fü exige qu’on extraie une racine carrée de racine carrée.
Nous nous proposerons donc cette question :
Une ijuantité de la forme A -t- y/Ü étant donnée (il est inutile de considérer ici le double signe ±, parce tju’il est implicitement renfermé dans l’indice du radical y/~), reconnaître si elle est le carré d'une autre quantité de la forme A'-t- y/B', ou y/Â" -1- y'^B', A, B, A', B' étant rationnels; et ilétermincr cette dernière quantité lorsqu'elle existe.
Cette recherche est fondée sur un principe qui trouvera, par la suite.
1 b> Goo^lt
TBANsroRjiATiox DE l’expression y' A -h y^B. 173
de fréquentes applications : c’est que, toutes les fois que l’on a une égalité de la forme
m -h yfïi = m' -+- y^(' ,
m, m\ n, «' étant rationnels, on doit avoir séparément m = m' et — \fn‘ .
En effet on déduit, de l’égalité hypothétique,
= m' — m -t- \hi' ,
d’où élevant au carré,
n = («1'— mf-k- «’-t- a(/«’ — ;«) '/ît\
ou bien
Or le premier membre de cette dernière égalité est un nombre commensurable : donc il doit en être de même du second; mais \fn’ étant, piir hypothèse, incommensurable, i(m' — m)]/î? est aussi incommensurable. Ainsi , pour que l'égalité subsiste, il faut que cette irrationnelle disparaisse, ce qui exige que l'on ait
m' — m = O, d’où m' — w,
et, par consé(iuent,
= v^', ou n — n', c. O- F. D.
Cela posé, désignons par p cl q les deux parties dont se compose la racine carrée do A lorsqu’elle existe; p et <7 sont alors deux monômes irrationnels, ou bien, l’un une quantité mtinnnclle , l’autre un monôme irrationnel du second degré, en sorte que et 7’ sont nécessairement rationnels. On a l'équation
d'où, élevant au carré,
Le second membre de cette dernière équation étant irrationnel, il doit en être de même du premier. Donc, en vertu du principe démontré ci-dessus, l'équation précédente se partage dans ces deux-ci :
