VA±/U

elles signes qu’il convient de combiner entre eux dans les deux membres pour avoir une égalité exacte sont déterminés par l'équation (3), qui indique que P el rj doivent être de même signe ou de signes contraires, suivant que est affecté du signe -f- ou du signe — ; ce qui fait que les signes du même rang, dans les deux membres, so correspondent entre eux.

1 19. Appliquons cetto formule à quelques exemples. Soit, en premier Heu, l’expression numérique

g4 ± 42 y/5 ou <j4±v/H8ao;

on a

 = 94, B = 88ao,

d'où

A’ — B = 8836 — 8820 = 16, carré parfait; donc C = 4 i et, par suite.

Ainsi

ou, plus clairement,

Soit, en second lieu, l’expression algébrique obtenue à la fin du n“ 117, savoir ;

X = ± -+- la' ± ta^bc -I- a’.

On a

A=éc-+-art’, B = 4"’éc -t- 4o'i ,

d’où

A’ — B = 6’c’, carré parfait; donc C = éc.

lire -e art* -4- fie

/< = ± W ^ = ± y/Or rt* , r/ = ± a.

Ainsi

CH.^riTRE III.

ou plutôt

Y il- an’ ± a« y/ic -e «' = ± y^ic -i- n’ ± n

\br + an' -t- au y/ir H- n’ = y'ir -H 0' -t- n , Y'ir ■+■ an’ — an y/ir -1- n’ = y//>r -H n* — n.

On trouvera pareillement

\jl>r -h -i/) v'if -t- b' -t- -ib ^bc— b' = a \'bc — b^ , ou ai ,

suivant que l’on a c > ou < ai;

\/iG -+- 3o (/—I -I- V i6 — 3o v^— 1 = lo,

120. L’evaclitiide de la formule (5) peut ftrc vérifiée à j>osteriori. En effet, élevons les deux membres au carré ; il vient

ou, observant que C’= A’ — B donne B = A’ — C’,

On voit donc que, lors même que A’ — B n’est pas un carré parfait, on

peut encore remplacer l’expression \jk ± y/B par le second membre de la formule (5); mais alors on serait loin d’avoir simplifié l’expression proposée, puisque chacune des quantités p et q, prises séparément , est de même forme que cette expression.

121. C’est surtout par rapport aux expressions imaginaires de la forme Y « ± iy/— 1 , que l’emploi de la formule (5) est avantageux.

TRARSFOKMàTlONS DES EXPRESSIONS DES IMAGINAIRES, ETC. >77

Wjà les derniers exemples du n" H9 prouvent que, dans le cas où a condition que A’ — B soit un carré parfait est satisfaite, ces sortes d'expressions peuvent être ramenées à la forme

a' et b' étant tes quantités réelles, commensurabtes ou incommensurables. Or je dis que cela a lieu lors même que A’ — B n’est pa^ un carré parfait. En effet, si l’on applique la formule (5) à l'expression

\ja b \J—i ,

d'où A’ —

ou, posant pour plus de simplicité, e — \Ja‘ -t- b' , quantité généralement irrationnelle, mais nécessairement réelle, positive, et plus gramle que a,

donc

On obtiendra pareillement

" sont essentiellement réelles, quels

Or les quantités

que soient a et b, puisque c ou yja' — b’ est numériquement plus grand que a.

Donc, enfin, toute expression de la forme

peut être ramenée à la forme ordinaire des imaginaires du second degré, rt'± b' t/— I , a' et b' étant quantités réelles quelconques.

Faisons ressortir par un nouvel exemple l'utilité de ces sortes de transformations.

jtlg. B. 12

D^itized by G(30gle

198 CHAPITRE III. — TRANSFORMATION DES EXPRESSIONS, ETC. Soit proposé de simplifier, s’il y a lieu, l’expression

Æ-=V3-f-av/ — i-H ^3 — a /— i.

En appliquant les formules (M) et (N), on trouve

rt = 3, 6=2; d’où c = />* = v/l3 ;

donc •

d’où, ajoutant et observant que x est censé représeifler ici la somme arithmétique do deux radicaux,

Cet exemple prouve, ainsi que l’avant-dernier du n" 119, que certaines expressions imaginaires y combinées entre elles , peuvent donner lieu à des résultats réels; et ces résultats pourraient même être rationnels.

ANALYSE INDËTEBailNÉE. FBEÜIËBE BËTUODB.