A DEUX INCONNUES

122. Toute équation du premier degré à deux inconnues peut (67) être ramenée à la forme

ax -+- b)- — c;

«, b, c désignant des nombres entiers, positifs ou négatifs.

Cela posé, remarquons d'abord que , si les coejjieients a et b ont un facteur h commun qui ne divise pas le second membre c, t 'équation ne peut être satisfaite par des nombres entiers.

Car soit a = ma', b — mb'\ l'équation devient

ma' X -h mb'jr — e\ d’où a'x-s-b'y=^,

et celle-ci ne peut être satisfaite par aucun système de valeurs entières de X et de /, tant que c n’est pas divisible jiar m.

la.

CnAPITBB IT.

Ainsi, pour que r&iuation soit possible en nombres entiers, il faut que les coefficients « et A soient /premiers entre eux, à moins que, s’ils ont un facteur commun, ce facteur no divise en même temps c, auquel cas on pourrait le supprimer.

Celte condition est d'ailleurs suffisante, ainsi que nous le démontrerons au n” 123, jiremière remarque.

Nous supposerons donc, dans tout ce qui va suivre, que a et t soient premiers entre eux.

123. Pour plus de clarté, nous traiterons d'abord des équations particulières, et nous généraliserons ensuite.

■ Preuièbe oübstion. — Partager i5g en deux nombres entiers dont l’un soit divisible par 8 et l’autre par i3.

Désignons par x et y les quotients respectifs de la division des deux nombres cherchés par 8 et par i3; il est clair que 8jr et i3^ expriment CCS deux parties; et l’on a l’équation

(i) 8j: -t- 13/ = iSg,

qui, d’après l’énoncé, doit être résolue en nombres entiers et positifs pour X et pour J.

On déduit d’abord de cette équation