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ou, effectuant la division,
Observons maintenant que la valeur de x sera entière si l’on donne à r
une valeur entière telle, que - — soit un nombre entier. D’ailleurs,
cette condition est nécessaire ; ainsi il faiet et il suffit que soit
égal à un nombre entier quelconque. Soit t ce nombre entier ( t est dit une imlétcrminée) ; il en résulte
et la valeur de x devient
Toute valeur entièrerde t, qui, substituée dans l’équation (a), en don-
ARALTSB IKDtTEBMINÉE. PHEEIERE MÉTHODE. l8l
nera une semblable pour y, satisfera à la condition (lUC - — soit
entier; ainsi, les deux valeurs de x et de ^ correspondantes seront entières et satisferont d'ailleurs (6G) à l'équation proposée, qui résulte évidemment de l’élimination do t entre les deux équations
La question est donc ramenée à résoudre en nombres entiers l'équation (a), dont les coefGcients sont plus simples que ceux de l'équation (i). On tire de l'équation (a)
ou, effectuant la division,
Toute valeur entière de t qui rendra a — 3/ un multiple de 3 donnera aussi pour y un nombre entier, et sera, par conséquent, convenable; d’ailleurs, la condition que a — 3( soit un multiple de 5 est nécessaire.
Ainsi il faut poser — ^ — = r' (t' étant une seconde indéterminée); ce qui donne
et la valeur de se réduit à j = i — t [L’équation (a) résulte d'ailleurs de l’élimination de t' entre ces deux dernières.]
La question est encore ramenée à résoudre en nombres entiers l'équation (3), de laquelle on tire
a — Sf" . a — af'
Posons — ^ — = r’ ; il en résulte
(4) a/'-t-3f=a, et, par conséquent,
De l'équation (4) on déduit
CHAPITH* IT.
ol posant - = on en lire
et, par conséquent,
Comme dans l'équation (5) le coellicient do /” est é^al à Ymilr, il s’ensuit q>ie toute valeur entière attribuée à t“ en donnera une semblable pour D'ailleurs, les doux inconnues principales x et y, et les indétee minées t, t', t" et t” sont liées entre elles par les cinq équations
Ainsi, en donnant it f" une valeur entière quelconque, et remontant de la dernière do ces équations aux deux premières, on obtiendra pour x cl r des valeurs entièn*s correspondantes qui vérifieront nécessairement l'équation proposée; car, d'après les niisonnemonts qui ont été faits plus haut, cette équation résulte de l'élimination de l, t', t', t" entre les cinq équations que l’on vient d'établir.
Mais, afin de n'attribuer à /” que des valeurs auxquelles correspondeal des valeurs entières et jioailives pour x et y, il convient d’exprimer x et; en fonction iininétiinie (108) de l'indéterminée t'", à l’aide des cinq équations ci-dessus.
Or l’expression de /' devient, lorsqu’on remplace t" par sa valeur en (*, r'= I — 2/'— t”, ou /'=! — Sr"; remontant a l'expression de
ou réduisant
/ = — I -t- it”.
On trouvera de même
7=1 — (— I -H Sf") -I- I — 3r", d'où 7=3 — 8/".
Enfin,
x=ig — (3 — Sr”) 1 -t- 5<"), ou X = i5 i3r”.
Il est facile de vérifier que ces deux dernières équations reproduisent l’équation proposée par l’élimination de t". En effet, si l’on multiplia b première équation par i3, la seconde par 8, et qu’on ajoute les résuliaù. il vient
Digiiij-jo l'y G(>(
ANALYSE INDÉTERKINtB. PREHIfiRE MÉTBODE. l83
Faisons successivemenl <”=0, i, 2, 3,..., ou bien —2,
— 3,. . les formules précM^denles donneront toutes les valeurs do x et de J en nombres entiers, soit positifs, soit négatifs, propres à vérifier la proiv)sée; mais si, comme l’exige l'énoncé, on ne doit tenir compte que des snlutions entières et positives, l“ ne peut recevoir que des valeurs . qui rendent 3 — 8f'” et i5 ■+■ i3/’” jtositifs. Or il'n’y a évidemment que t'=o et = — 1 qui satisfassent à cetto condition ; car toute valeur positive de rend.v négatif, et toute valeur négative, numériquement pins grande que i, rend x négatif.
Si l’on fait successivement <■"= o, — 1, il en résulte
3, x=i5; puis x —
x=i5 et X =z 1 et
sont les seuls couples de nombres prsitifs qui vérifient l’équation 8.r -(- i3>‘ ~ i5g.
Quant à la question dont cette équation est la traduction algébrique, puisque 8ar et iS.r représentent les deux parties cherebées, il s'ensuit que 8x i5 ou 120, et i3 x 3 ou 3g, forment une première solution; que 8 X 2 ou iC, et 1 3 X 1 1 ou 1 43, forrttent une seconde solution ; c’està-dire que iSg peut être partagé, soit en 120 3g, soit en 16 -s- 143.
424. Soit, pour second exemple, l’équation (1) 17X — 4g.r = — 8.
On en déduit d’abord
Pour qu’5 une valeur entière do x ü corresponde une valeur entière de X, il faut et il suffit que i5 r — 8 soit un multiple de 17. Soit i5r — 8
donc
et
■ = t, t étant une indéterminée; il en résulte 157-17/ = 8,
[L’élimination de / entre ces deux équations reproduirait l’équation (i).]
CBAPITIE IT.
On déduit de l’équation (a)
