On peut résumer ainsi la méthode précédente
Soit
(i) ax by = c
l’équation qu’il s’agit de résoudre. Tirei de cette équation la valeur de l’inconnue qui a le plus petit coefficient, de x par exemple, et effectuez la division autant que possible; vous obtenez une expression de x en y, composée d’une partie entière et d’une partie de forme fractionnaire qu’il faut tâcher de rendre entière. Égalez cette seconde partie à une première indéterminée t ; il en résulte une nouvelle équation en y et t, que l’on peut nommer l’équation (a), et dont les coeOicients sont plus simples que ceux de l'équation (i). La valeur de x se trouve d'ailleurs exprimée en fonction entière de y et t, et l'équation proposée résulte de l’élimination de t entre l’équation (a) et l’équation qui donne la valeur de x en y et t.
Tirez de l’équation (a) /a valeur de y, et effectuez la division atüant que possible. Égalez la partie fractionnaire à une seconde indéterminée i \ d’où il résulte une équation [3) en t et t', plus simple que les équations (i) er (a), /ai valeur de y se trouve ainsi exprimée en fonction entière de t et tl -, et la proposée résulte de l’élimination de t et i entre l’équation ( 3 ) et les deux équations qui donnent x en fonction entière de y et de t, puis y en fonction entière de t et i.
Opérez sur l’équation (3) comme sur les équations (1) et (a), et continuez cette série d’opérations jusqu’à ce qu’enfla vous parveniez à une
CHAPITM IV.
dernière équation entre deux imiéterminées dont l'une ait pour coefficient /’unilé.
Remontez ensuite de eette dernière équation aux préeédenfes, et cherchez, par des substitutions successiies, à exprimer x et en fonction de la dernière indéterminée.
Vous oblonoz ainsi doux formules h l’aide des<]uelles, en donnant à l'indélermint^e restanle d(>s xalcurs entières quelconques, vous trouvez tous les systèmes do valeurs entières, tant /msitiivs que négatiees, propres è vérifier l'é<]Hation ax -e h r = e.
Si l’on ne veut que des valeurs entières et positives pour x et r, les deux formules indiquent , par leur composition , entre quelles limites doivent être comprises les valeurs de la dernière indéterminée, pour que celte condition soit rem|)lie.
Première remarque. — Lc procédé qui vient d’être indiqué doit toujours conduire à une dernière équation dans laquelle le coeOicient d'une des indéterminées est égal à \' unité.
En effet, dans la première opération , on est amené à divisttr le plus grand coefficient des deux inconnues par le plus petit ; dans la seconde, le plus petit coefficient par le reste de leur division ; dans la troisième, le premier reste par le second reste, et ainsi de suite , c’est-k-dire que l’on applique aux deux coefficients le procédé du plus grand commun diviseur. Donc, puisfiuo, par liypollièsc, les deux coefficients sont premiers entre eux (122), on parviendra facilement k un reste égal k i, qui servira de coefficient k Tavant-demière des indéterminées introduites dans le cours du calcul.
On peut conclure de Ik que l’équation ax -t- by — e admet toujours un nombre infini de solutions entières (positives ou négatives) tant que a et t sont premiers entre eux.
Seconde remarque. — Ixtrsqu’on applique le procédé k une équation dans laquelle les coefficients des deux inconnues admettent un facteur commun qui ne se trouve pas dans le second membre (auquel cas l’équa^ tion est im/mssible en nombres entiers), la suite des calculs fait reconnaître cette impossibilité, si on ne l’avait pas aperçue d’abord.
Soit, par exemple, l’équation
(Le fadeur 7 est commun aux coefficients de x et de ^v, et n’entre pas dans le second membre. )
On en déduit
4qJ'— Il i4x — Il
Posant
ANALYSE INDfiTEBIlINÉE. PREVIÈEE METBODE.
on a
Posant
on trouve
— — = t, dou y=x-^t,
- — - = /j d OÙ x=ar-(-/,
Cette dernière équation est évidemment impossible en nombres entiers
pôur t et t', puisque ^ est essentiellement une fraction. Donc aussi la
proposée est impossible en nombres entiers pour x et j.
JB. — Le dénominateur 7 de la fraction à laquelle on parvient est précisément le facteur commun aux dopx coefficients de la proposée; ce qui résulte nécessairement de la nature de la méthode employée.
120. Au reste , le procédé ci-dessus est susceptible de plusieurs simplifications qu’il est important d'introduire dans la pratique.
Reprenons l'équation déjà traitée
«7Jf — 49/ =— 8;
on en déduit d'abord
Observons actuellement que 49 est égal à 17 x 2 -m5, ou bien encore, égal à 17 X 3 — a; donc
ainsi la valeur de x prend la forme
et la question est ramenée à trouver, pour/, un nombre entier qui rende
„ ay-t-8 „ • . A a(r-t-4).
entière 1 expres.sion — Or cette expression revient a !
mais les deux nombres 17 et a sont premiers entre eux. Ainsi, pour
CDAPITKE IT.
qup ^ ^ 1 soit entier, il finit et il suffît [Arithmétique, ag' édition ^128)]
que .r -H 4 soit divisible par 17.
Posons donc ^ 2 = / t éunt un nombre entier tout à fait arbitraire ,
il en résulte
et la valeur du x devient
X = 3/ — •xt.
ou, remettant pour 7^ sa valeur en t,
x = 4g/ — la.
Ces formules donnent également toutes les solutions entières de la proposée; car l'élimination de t entre ces deux équations reproduit l’équation 17X — 497^ =— 8.
En faisant / = i, a, 3, 4,. . on trouverait des valeurs entières et positives pour x et mais on ne peut supposer t négatif ou égal à léro : autrement, x et seraient négatifs.
On doit sentir do quelle importance sont les modifications précédentes, puisque , par leur moyen , on n’a introduit qu’une seule indéterminée dans le cours du calcul.
Ces modifications se rencontrent dans presque tous les exemples, mais on ne peut les expliquer facilement que sur des équations particulières ; c’est pourquoi nous traiterons encore les questions suivantes :
127. Deuxième question. — Payer 78 francs avec îles pièces de 5 francs et de 3 francs, sans aucune autre monnaie.
Soient x le nombre des pièces de 5 francs, et y 1e nombre des pièces de 3 francs; on a l’équation Sx -t-Zy=: 78, qui n’admet que des valeurs entières et positives comme solution de la question.
Cette équation, résolue par rapport à y, donne
78 — Sx
ou, en effectuant la division,
