JJ
même entière qu’autant que l’on aura égal à un nombre entier; et
comme i est premier avec 3, il faut et il suffit [Jrii/wiétiijae (W)] que X soit divisible par 3.
Soit donc x = 3/; il en résulte
j=a6 — X — a/, ou bien a6 — 5t.
Si l'on considère la seconde valeur, on voit tout do suite que x doit être un multiple de 3, ce qui donne
d’où résulte encore
y = 7& — ax-t-f, ou y=a6 — 5t.
Ces deux expressions de x et de ^ montrent que t doit être positif et
ne peut avoir une valeur plus grande que -^7 ou 5 ^7 si l’on veut obtenir des solutions jMsilifCS pour x et y.
Soit donc t = o, i, a, 3, 4, 5; il en résulte
x = o, 3, 6, 9, la, i5; /=a6, ai, iG, 11, 6, i.
Ainsi, l’on peut satisfaire à la question de six manières différentes, savoir ; avec a6 pièces de 3 franc*, sans aucune pièce de 5 francs ; avec * 21 pièces de 3 francs et 3 pièces de 5 francs; avec iG pièces do 3 francs
et 6 pièces do 5 francs;. . . et ainsi do suite.
N. S. — Soit fait, dans les deux formules, r = 6; il vient x= 18, = — 4 ; et cela voudrait dire que si, d’une' part, on donne 18 pièces de 5 francs, il faut qu’on reçoive en échange 4 pièces de 3 francs, pour que le pavement soit effectué avec ces deux sortes de pièces.
On trouve, en effet,
Ainsi, des valeurs positives pour x, et des valeurs négatives pour y, ou réciproquement , donneraient encore des solutions de la question, en ce sens que le payement aurait lieu moyennant un échange de pièces de 5 francs et de pièces do 3 francs.
Troisième question. — Troucer un nombre qui, étant [dmisé par 3g, iîonne le reste iG, et divisé par 5G, donne le reste 27.
Soit N le nombre cherché. Appelons d’ailleurs x et ^ les quotients
CHâPITM it.
entiers de N divisé sucoossiveraent par 3p et par 56. On a les denx équations
N =: 3g j: 16 et N = 56j ■+■ ;
ce qui donne
3gx -I- 16 = 60/ ■+■ i7,
ou, réduisant,
,3gx — 56/ = 11.
La question est donc ramenée à résoudre cetlo équation en nombres entiers.
On en déduit
SOv-l-Il 17V -4- Il
ou bien encore
(ïïr — I il
Il (î/— i)
(On prend ici le iiuoticnt pur excès, parce qu’on s'aperçoit que le facteur 1 1 peut être mis en évidence dans le numérateur do la fraction.)
Comme, dans l’expression •
I le facteur 1 1 est premier avec 3g.
pour que cette expression soit un nombre entier, il faut et il suffit que 2/ — I soit divisible par 3g.
Posons donc — = /, il en résulte 3g
et, par conséquent.
L’équation (1) donne
1/ — 3gr = I, X = 2/ — 1 1 r.
• = ig< -I-
Posant — ^ == on obtient l’équation
i = 2«'— I, et jr= iç)l -h t', d’où /=3g/'— 19.
En reportant cette valeur de / et celle de t dans l’expression de x, on trouverait
Mais cette substitution est inutile ; car puisque N est l’inconnue princi-
--- --iH
PROPRIÉTÉS DBS VALEURS DE X ET DE y, ETC. I9I
pale du problème (x ne sont ici que des inconnues auxiliaires), et que l’on a N = 50/ -t- 27, il suflit de remplacer, dans celte équation, / par sa valeur ; ce qui donne
N = 50 ( 3gr'— 19) -t- 17, ou, en réduisant, N = 2184 r' — 1037.
On reconnaît, à rinspeclion de cotte formule, que /' peut avoir une valeur positive quelconque, mais ne saurait être négatif, si l’on veut que N soit positif. ■*
Soit /'= i; il en résulte
Ce nombre ii47 est le plus petit de tous les nombres entiers positifs susceptibles de satisfaire à l'énoncé.
Observons d’ailleurs que, du moment où l’on a reconnu que 1 147 satisfait ù l'énoncé, on est certain que toutes les autres valeurs do N correspondant à /'= 2, 3, 4,... y satisfont également. En effet, dans la formule N = 2184/' — 1087, le nombre 2184 étant égal à 3g x 56, les hypothèses t' — 2, 3, 4,. ■ • donneront pour N des multiples de 2184, ou do 3g et de 56, augmentés de ii47; tl'où il suit que ces valeurs do N, divisé-cs respectivement par 3g et 56, doivent donner les mêmes restes que 1 147-
N. B. — Les artifices de calcul auxquels nous avons eu recours dans la résolution des questions précédentes abrègent beaucoup la détermination des valeurs de x et de >•; mais ils supposent de l'habitude : c'est pourquoi nous ne saurions trop en recommander l’usage.
128. Si l’on compare les formules propres à donner tous les systèmes de valeurs de x et do /, dans les diverses questions que nous avons traitées jusqu’à présent, aux équations do ces problèmes, on peut facilement reconnaître qu’elles jouissent de cette propriété commune : Les coefficients (le r indéterminée qui entrent dans ces formules sont réciproquement les mêmes (au signe près pour l’un des doux) que les coefficients dont les inconnues x et j sont affectées dans l’érjuntion pmimsée; c’està-dire que, dans la valeur de x, le coefficient do l’indéterminée est égal au coefficient dont y est affecté dans l’équation , et dans lu valeur de /, le coefficient do l’indéterminée est égal au coefficient de x dans l’équation, pris en si^ne contraire; ou réciproquement (quant aux signes des deux coefficients).
Pour donner de celte propriété une démonstration tout à fait indépendante de la méthode qu’on a suivie, reprenons l’équation générale
(i) ax-+-é/ = c,
193 CRAPITIB IT.
et supposons que, par un moyen quelconque, on ait trouvé
pour une première solution en nombres entiers (positifs ou négatifs) ; je dis que toutes les autres solutions sont comprises dans les deux formules
= 6 ar, X = a. — bl, ou bien y — al, x — a -t- be,
t désignant un nombre entier tout à fait arbitraire.
En elTct, puisque a et C forment un premier système de valeurs de x et de Xi O nombres entiers, on a l'égalité
(a) . aa -t- éS = c.
Retranchant cette égalité, membre à membre, de l'éq^iation (i), co qui revient à mettre pour c sa valeur aa + b" = c, on obtient
équation qui peut remplacer itlcntir/ucnient la proposée (*).
Or l’équation (3) revient à celle-ci
et pour que la valeur de x correspondant à une valeur entière de y soit elle-même entière, il faut et il suffit que é(j — 6) soit divisible par a; mais on sait (122) que les coefRcients a et é sont premiers entre eux (autrement l’équation no serait pas résoluble en nombres entiers) ; donc, en vertu du princiiie établi en Jrithmétupu: (128), il faut cl il suffit que X — S soit un multiple de a.
Posons donc — S = ar, il en résulte
et do ces deux équations on déduit évidemment X—^-\-at, x = a — bt.
Comme,lo signe de \i est tout à fait indéterminé, on peut changer t en — t dans ces formules, co qui donne encore
/ = 6 — at, X = a -h bt.
(*) Nous entendons ici, par le mot identiquement, que tout sj-stème de vaicurs de j: et de^ susceptible de vérifier i'cqiiation (3) doit aussi 'vérifier l'êquatioD (1), et réciproquement; ce qui est évident, puisque la transformation précédente revient à remplacer e par ta valeur aa-t-i(.
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ANALT8E INDfiTBRlINÉB. SBCONDE MtTHOO^. igS
Il est aisé de vérifier que, quelle que soit la valeur de t, en nombres entiers, les valeurs / = 6 -t- or, x = a — bt satisfont à la proposée.
En cflet, si on les substitue dans cette équation, on trouve
a(a — bt) + b [t at] = c, ou réduisant, -t- b° = r,
égalité vérifiée, puisque a et € forment, par hypothèse, une solution de la proposée.
