Jutre méthode pour résoudre l’équation

ax -s- by = c.

D’après ce qui a été démontré (129), toute la difficulté, pour n^oudre complètement cette équation, consiste à trouver une première solution, puisqu’on obtient ensuite toutes les autres au moyen des formules

= 6 -t- nr, X = a — bt.

Or on peut toujours obtenir une première solution en s’appuyant sur les propriétés élémentaires des fractions continues.

En effet, supposons d’abord que l’équation soit

( I ) ax — by= c,

a et b étant deux nombres absolus, mais c pouvant être positif ou négatif. Convertissons en fraction continue la fraction qui doit être irréductible (122), et formons les réduites consécutives.

Alg. B. l3

• CDAPITRB IV.

La dernière sera 7; et si l’on nomme l’aNimt-demière, on aura, d'a-

b lit ’

près les propriétés connues, la relation

ax m' — è X m = ± I ;

savoir : -t- i si la réduite | est de rang pair, et — 1 si cette réduite est de rang impair.

Admettons, pour un instant, qu’elle soit de rang pair, il en résulte l'égalité vérifiée

Multiplions ses deux membres par r, il vient

a X m'r — b x me = r,

résultat qui ne diffère de l’équation ax — b r = r qu'en ce que j: et r sont remplacés par m'e et me; donc x = m'r, jr = me forment une solution de réquation.

Si la réduite ^ est de rang impair, on a

ax m’ — b X m = — i ;

d’où, multipliant par — r,

a X (— m'e) — b x {— me) = c.

Comparant cette égalité vériOée avec l'équation ax — by = c, on en conclut

X = — m'e, y = — me,

pour solution.

Si l’équation est de la forme ax-i-by = r, c’est-à-dire si les deux coefficients a et à sont de même signe, on i>eut la modifier et l’écrire aind

ax — h X { — y) = e.

Dès lors, en formant, comme ci-dessus, l’égalité a X m'e — b X me = r,

ou bien celle-ci

a X (— m'e) — b X { — me) — e, on pourra conclure que

X = m'e, y = — me, ou x = — m'r, y = nie forment une solution de l’équation.

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ANALYSE INDÊTEHMINEE. SECONDE «ÉTOODE. I()5

Ainsi, quelle qae soit l’éqnation proposée, on peut toujours, au moyen des fractions continues, obtenir une prrmirrc sohuinn do celle équation; et les formules / = S n/, x = a — bi donnent ensuite toutes les autres.