Appliquons cette méthode à l’équation suivante
agjT -i- iyjr= aSo.
La fraction — j convertie en fraction continue, donne, pour les réduites ‘7
consécutives,
I a 5 la ag
D'où résulte Végatité vérifiée
ag X 7 — 17 X la = — i.
ÎO
Ici la réduite est do rang impair.
Multiplions les deux membres de cette égalité par — aSo, il vient ag X (— 1760) — 17 X (— 3ooo) = aSo; mais la proposée peut être écrite ainsi
ag X — 17 X ( — 7 ) = aSo;
d’où l’on voit que
x = — 1750, 7'=3ooo
forment une solution.
Les formules deviennent alors
7'= 3ooo H- agf, x = — 1750 — 17 t.
Si l’on ne veut tenir compte que des solutions en nombres entiers et positifs, il faut supposer t négatif : ainsi, cliangeant le signe de t, on a
7= 3ooo — içjt, X = — iySo -t- tyt-
et il est évident que les valeurs de a- et de / ne seront positives qu’autant que l’on aura
171 >1750, ag<< ou, effectuant les divisions, t > 10a
. ,, , ^ I7S0 AOOO
3ooo, d où t > — — ) t < ,
17 ag
ifi • - O
— I mais < io3 — ■
«7 ao
ir)(> coAriTHE ir.
Donc t = io3 («t la seule valeur du l'indéterminée qui rende 2- et ^ positifs.
Pour t = io3, on trouve
valeurs qui, substituées dans l'équation, donnent
29 X 1 -4- 17 X i3 = ag aai = a5o.
On voit avec quelle précision la méthode précédente donne toutes les solutions de l'éiiuation.
132. Dans quelques circonstances, on peut obtenir la première solution
sans être obligé do convertir ^ en fraction continue.
1° Si l'un des deux coefficients a et h est un sous-multiple cj:act de la quantité toute connue c, l'équation donne sur-le-cliamp cette solution. Soit, par exemple, l'équation
Sx ■+- 3/ = 78 ;
le coefficient 3 divise 78, et donne pour quotient a6.
Donc, si l'on iiose x = o et .v = 26, l'équation est satisfaite ; car elle devient
5 X o H- 3 X aC = 78.
Les autres solutions se trouvent d'après les formules x = 3/, r=a6 — St.
Soit encore l'équation
lax SSx = tSG.
Comme i56 est divisible par 12 et donne i3 pour quotient, il s’ensuit que / = O, .r= i3 forment une première solution; et l'on a, pour les formules relatives à l'équation proposée,
x = i3 — 35r, 7^=ia/.
2“ Toutes les fois qu'à l'inspection de l'équation on reconnaît que la somme ou la dilTérence des coefficients a et b, multipliés respectivement par deux nombres entiers convenables, donne un sous-muliiple du second membre, la i)remière so^tion s’obtient encore sur-le-champ.
Soit, par exemple, l'équation
iSx — iG/ = la.
iMALTSE IKDÉTERMinÉE. SECONDE MÉTHODE. IQ7
Comme, en faisant x = a, = 3, on trouve
aSx2 — iGx3 = a,
multiplions les deux membres de cette égalité par 6, quotient de la par a, il vient
aS X a — lO X i8 = la;
ce qui prouve que x = la, i8 satisfont à la proposée; d’où les deux formules
x=iaH-i6r, j^=i8-»-a5r.
Soit encore l’équation
i3x — 477 = o; elle est évidemment satisfaite par
Ainsi, les formules générales sont
■Au reste, ces moyens do trouver une première solution ne sont que des moyens particuliers à certaines équations, tandis que la conversion en fraction continue est un moyen toujoms certain pour y parvenir.
Nous engageons les commençants à s'exercer également sur les deux méthodes que nous avons exposées, et qui sont les plus simples des méthodes connues.
133. A la seule inspection des signes de l’équation flx -h by— c,
on reconnaît si le nombre des solutions en nombres entiers et positifs est limité ou infini.
1" Lorsque b est positif {a peut toujours être supposé tel), le nombre des solutions est limité.
En effet, de la proposée on déduit
Or, si c est négatif, quelque valeur positive que l’on donne à 7, la valeur do X correspondante sera négative; ainsi, dans ce cas, l’équation réadmet aucune solution.
Si c est positif, on ne peut donner à 7 des valeurs positives-plus grandes
GUAPlTaS IT.
(jue aulrcmcnl x serait négatif; d'ailleurs, à la plus grande valeur de.)
correspond la plus petite pour .r, et réciproquement ; donc, etc.
2“ Lorsiiue b est négatif, quel que soit le signe de r, le nombre des solutions est illimité.
En effet, les formules 6 — or deviennent, le signe i étant
mis en évidence,
x = ot-t-bt,
Or, dans le cas le plus défavorable, celui où gt et S sont deux nombrenégatifs, il suffit, pour que x et j soient })osilifs, de supposer à r des va-
leurs positives, numériquement plus grandes que celles de ^ et -• Ainsi.
l’on peut donner à < des valeurs entières quelconques au-dessus de ces deux quotients.
134. Dans l’hypothèse où a, b, c sont positifs à la fois, on peut toujours fi.xer les limites entre lesquelles doivent être comprises les valeurs de l'indéterminée.
Pour cola, dans les deux formules, qui sont alors
.y = <3 fl/, X — a — bt,
il suffit de poser les inégalités
6 4- fl/ > o, a — - i/ > o,
d'où l'on déduit (lOS)
/ > 1 mais / < T •
Lorsque ces deux inégalités ne s’accordent pas, c’est une preuve q« l’équation n’admet aucune solution en nombres entiers et positifs; mais si elles s’accordent, le nombre des valeurs entières qu’on peut attribuer à ( Ç a
entre les deux limites ~ ~ ^ ) exprime le nombre total des solutions-
y. B. — Comme la différence entre la limite supérieure ^ et la limite inférieure — est ^ ou (à cause de la relation aa èê =c), ü fl ab ab' '
s’ensuit que ^ ou y -i- i (9 exprimant la partie entière du quotient de c par ab) est le maximum du nombre total des solutions.
fiQUXTIONS INDÉTBBMINtES A PLDS DE DEUX IKCOMMVES. 199
§ 11. — Des ÉOUATIONS et rROBLÈHES INDÉTERMINÉS A TROIS OU UN PLUS GRA-ND NOMBRE d’lNCO.NNUES.
135. Considérons d’abord le cas de deiuc équations à trois inconnues. Soit, pour premier exemple, le système des deux équations
dans l’une desquelles l’inconnue z est affectée d'un coelTiclent égal à l’unité. Commençons par éliminer z.
A cet effet, multiplions la première équation par 3, et retranchons la seconde du résultat; il vient
équation qui peut remplacer l'équation (a).
Appliquant à l’équation (3) la première méthode, on trouve les deux . formules
x=i — 3r, jr-=ii-k-qt.
Reportons ces deux expressions de x et de y dans la première équation, on obtient
ou réduisant.
Les trois inconnues se trouvent actuellement exprimées en fonction entière de l’indéterminée t. Ainsi, en donnant à t des valeurs entières quelconques, on en obtiendra de semblables pour x, y, z, et ces valeurs satisferont aux deux équations proposées ; car, d’après ce qui vient d’être dit, le système des trois formules ëquicaut aux deux équations.
Si l’on demande des valeurs entières et positives pour x, y, z, il est évident que t ne peut être positif, car x serait négatif ; mais on peut sup-
poser t — o, — I, — 2,. . ., jusqu’à / = — y ou — 7-, c’esUà-dire — 7,
puisque t doit être entier.
Faisant donc
on trouve
x= I, 4, 7, 10, i3, 16, 19, aa;
z = 63, 76, 89, loa, ii5, ia8, 141, >54;
CBAPITBE IV.
d’où l’on voit que le problème est susceptible de huit solutions diBérentes.
Soient, pour nouvel exemple, les équations
(a) iix-t-8 r — 61=145.
Pour éliminer z entre ces deux équations, multiplions la première par 3 et la seconde par a, puis ajoutons les résultats membre à membre; il vient
(3) 4ox 377^ = 656,
équation pour laquelle on trouve, d’après la première méthode,
x = 37/-t-9, /=8 — 4or.
Reportant ces valeurs dans l’équation (■], on obtient
G(37r-i-9)-t-7(8 — 4or)-i-4ï =
ou réduisant,
az — 29< = 6.
Ici l’inconnue z n’est pas, comme les deux autres, x et y, exprimée en fonction entière de l’indéterminée t. Ainsi, il faut encore appliquer à l’équation (4) l’une des deux méthodes connues.
On a, d’après la première remarque du n" 132, pour les formules relatives à cette équation,
Comme, d’ailleurs, toute valeur entière de t, substituée dans les expressions de X et de >•, en donnera de semblables pour ces inconnues, il s’ensuit que, si l’on y met 2/' à la place de r, on obtiendra les trois formules
qui comprendront tous les systèmes de valeurs entières de x, y, z, propres à vériQer les équations proposées.
Si l’on ne veut que des solutions directes, il est visible que t' ne peut être positif, puisque alors 7^ serait négatif ; et t' ne peut être négatif, puisque z et X seraient négatifs.
Mais l'hypothèse t'=o donne
sr = 9, /=8, z=3;
donc ce système est le seul qui satisfasse aux deux équations.
136. En résumant la marche précédente, on en conclut cette règle gé-
