X-l-T" -+- 2-e H = 100, lOX -I- 57 -t- 2 2 H — «=ioo

ÉQL'âTIONS IKDÉTERaiNtES A PLUS DE DEUX INCOXNCES.

X S -H K = lOO, aox-t- IO^-4- 4* H- U = 200.

En relrancbant la première équation de la seconde, on obtient igx -I- 9^-t- 3z = loo,

équation qu’il faudrait traiter comme dans le numéro précédent. Mais, avant tout, observons qu’il est préférable d’exprimer jet zen fnnetinn entière de X ; 1° parce qu'il est évident que x ne doit pas avoir de valeurs

au-dessus de ou ® que les coefficients de j et de a ont

un facteur commun; ce qui entraînera nécessairement une condition propre à déterminer les valeurs convenables de x.

D’après ces considérations, transportons le terme igx; il vient

9JH- 3z= loo — igx,

ou bien 3^' -+- z = ■

■ iq-r

Or, puisque l’on demande pour x, j, z, « des nombres entiers et posi-

tifs, il faut que ^ — — soit entier et positif; mais il n’y a évidemment

que x = 1 et x = 4 qui puissent satisfaire à cette double condition. Donc, déjè, x ne peut avoir pour valeur que x = i et x = 4.

Soit X = I , il en résulte

3 J Z — 1-; ou Z = 27 — 3j.

Substituant ces valeurs do x et de z dans la première des équations proposées, on trouve

La première de ces deux formules montre que y ne peut pas être > 9, ainsi, pour x = i , on a

Soit .r = 4 ; il vient

3j-4-z=8, d’où z=8 — 3j et «=88-+-27.

L’expression do z prouve que j ne peut pas être > 2; ainsi, pour x= q, on trouve

CBAFITKE IT.

ao8

D'où l'on voit que la question proposée n'est susceptible que de treize solutions, et do dix, si l'on excepte les solutions zéro.

iV. /f. — Le moyen de simpliQcation qui vient d’être indiqué devient quelquefois une modification indispcnsablo à la métiiodo exposée n* 140.

C'est ce qui aurait lieu, par exemple, pour l'équation

Gj-t-io/— i5î = ii,

dans laquelle les trois coefficients de x, y, z, considérés deux à deux, ont un facteur commun.

142. Le but de Y Analyse indéterminée du second degré est, comme celle du premier degré, do résoudre en nombres entiers les problèmes qui donnent lieu à un nombre d'équations moindre que celui des inconnues. Mais comme, en général, une équation du second degré à deux inconnues donne l'une d'elles en fonction irrationnelle de l'autre, il s'ensuit que la que.stion consiste : i° à déterminer, pour l'une des inconnues, des valeurs rationnelles qui aient la proi>riété dVn donner de semblables pour la seconde ; à choisir parmi les valeurs de la première inconnue les valeurs entières qui en donnent do semblables pour la seconde. On conçoit, d’après cela, que l'Analyse indéterminée du second degré doit offrir de plus grandes difficultés que celle du premier degré. C'est, en effet, une des théories les plus difficiles de l'Analyse algébrique ; et elle sort tout à fait des éléments. Nous renvoyons, pour cet objet, à la Théorie des nombres de Legendre et à Ydlgèbrc do M. Lbuillier, ouvrage dans lequel nous avons déjà puisé les énoncés d'un grand nombre de problèmes, et où se trouve traitée une série de questions du second degré à deux inconnues, dont les équations ne renferment que le produit des inconnues.

FORMATION DES PflSSANCES.