CHAPITRE V

FORMATION DES PUISSANCES ET EXTRACTION DES RACINES D'UN DEGRÉ QUELCONQUE.

Inirçducthn. — De même que la résolution des équations du second degré suppose connus les procédés do l'extraction de la racine carrée, do même la résolution des équations du troisième, du quatrième, etc., degré, exige qu’on sache extraire la racine troisième, quatrième, etc., d'une quantité, soit numérique, soit algébrique, {f^oir le n° 2 pour la définition des mots puissance et racine.)

L’élévation aux puissances, l’extraction des racines do degré quelconque et le calcul des radicaux feront l’objet principal de ce nouveau Chapitre, qui, avec le premier et une partie du troisième, constitue l’ensemble des opérations que l’on peut avoir à effectuer sur des nombres exprimés algébriquement.

Quoiqu’une puissance quelconque d’un nombre puisse s’obtenir d’après les règles do la multiplication, soit arithmétique, soit algébrique, cependant la formation de cette puissance est assujettie à une loi qu’il faut connaître lorsqu’on veut revenir de la puissance à la racine. Or, comme la loi de composition du carré d’uno quantité numérique ou algébrique est fondée (86) sur l’expression du carré d’un binôme, de même la loi relative à une puissance de degré quelconque se déduit do l'expression d’uno puissance de même degré d’un binôme. C'est donc par la détermination du dévclnp[icmcnt d’une puissance quelconque d’un hinônic que nous devons commencer cette nouvelle théorie.

§ I. — fil-NÔME DE NEVVTO.t ET CONSÉQUENCES QUI EN DÉRIVENT.

143. Introduction. — Si l’on fait le produit de plusieurs binômes égaux à X a, on parvient aux résultats suivants :

(x -t- fl)' = .r -h a,

(.c -i- «)’ = x’ aflx -s a’,

(x fl)’ = ,r’ -+- 3fi.r’-r- 3fi’.r -i- ed,

{x -t- a)' = x' ~i- Gfi’x’ -!- 4'f'x a',

(x fl)’ = x‘ -J- 5ax' -i-iofi’x’ -1- 10 fl* x’ -r- Sfi’x -i- n'.

CBAPITRK V.

Ën jetant les yeux sur ces difTl^rents développements, un reconnaît aisément une toi suivant laquelle ils procèdent, quant aux exposants de x et de n ; mais il n’en est pas de même pour les coefficients. Cependant Newton est parvenu h en découvrir une au moyen de laquelle, le degré d’une puissance d’un binéme étant donné, on iKsut former cette puissance sans être obligé de passer d’abord par toutes les puissances inférieures. 11 n’a laissé aucune trace des raisonnements qui avaient pu l’y conduire; mais depuis on a constaté d'une manière rigoureuse l’existence de cette loi. Du toutes les démonstrations connues, la plus élémentaire est celle qui se trouve fondée sur la Théurie des rombi nuisons. Toutefois, comme cotte démonstration est encore assez compliquée, nous commencerons, |K)ur en simplifier l’exposition, |>ar résoudre quelijues problèmes relatifs aux combinaisons; d’où il sera facile ensuite de déduire le développement d’une puissance quelconque d’un binôme, ou, en d’autres termes, la formule du binôme.

TnÉORlE DES COMBI.XAISO.NS.

144. On sait déjà que le produit d’un nombre n do facteurs n, ô, r. d, ... ne change pas, dans queUpie ordre t|u’on effectue leur multiplication. Or supposons que l’on veuille déterminer \a nombre des manières

dont CCS dilférentcs lettres peuvent être di.sposées les unes à la suite dt>s autres. Ix;s résultats qui correspondent ù chaijuo disposition que l’on fait subir à ces lettres se nomment permutations.

C’est ainsi que doux lettres, a et b, donnent un produit unique nb, mais fournissent les doux jMîrmutalions ah et ba.

De mémo, les trois lettres «, b, e donnent un produit unique nbe, mais fournissent les six permutations abc, acb, cab, bac, bca, cba ; et ainsi do suite.

Soit maintenant un nombre m de lettres n, b, c, d, c, ...; si on les dispose les unes à la suite des autres, 2Ù2, 3ù3,4ù4,--., dans tous les ordres po.ssibles, de manière, toutefois, que, dans chaque résultat, le nombre des lettres soit moindre que celui des lettres données, on peut demander l’expression du nombre total des résultats (|ue l’on obtient ainsi. Ces résultats sont ce que l’on appelle des arrangements.

Ainsi, ab, ac, ad, . : ba, bc, bd, . . ., ca, cb, ed, .. ., sont des arrangements 2 à 2 des m lettres.

De même abc, abd, ..., bac, bad, .. ., acb, acd, . . . sont des arrangements 3 à 3 ... .

Enfin, lorsqu’on dispose ainsi les lettres 2 à 2, 3 à 3, 4 ù 4, , on

peut exiger que deux quelconques dus résultats que l’un forme ne soient